Page 234 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru:
A H diklik merkezi olmak üzere; HAB, HBC, HCA ve ABC üçgenlerinin, aynı dokuz
nokta çemberine sahip olduğunu göstererek, bu üçgenlerin Euler doğrularının bir
noktada kesiştiğini kanıtlayınız.
Çözüm:
S
A A 1- [BC], [AC], [AB] kenarlarına ait
yükseklik ayakları A , B , C ; bu
I 1 1 1
kenarların orta noktaları A , B , C
C 1 C 1 2 2 2
A 3 A 3
B C C 2 B 2 C 2 B 2 ve A, B, C köşelerinin H ile orta
noktaları A , B , C olsun. BHC
N N 3 3 3
üçgene dikkatimizi verelim, bu
B 1 B 1
H C 3 H C 3
B 3 B 3 üçgenin 9-nokta çemberinin, kendi
B C B C kenarlarının orta noktaları olan
A 2 A 1 A 2 A 1
A , B ve C noktalarından geçmesi gerekmektedir. Peş peşe bu düşünce tekrarlanırsa birinci
ABC üçgeninde I nok- 2 3 3
tası iç teğet çemberin iddianın doğruluğu görülür.
merkezi olmak üzere, 2- İkinci iddia da doğrudur. Çünkü Euler doğrusu, 9 nokta çemberinin merkezinden geçmektedir.
AIB, AIC, BIC ve ABC Söz konusu üçgenlerin 9 nokta çemberi aynıysa, merkezleri de aynıdır, İşte bu merkezde
üçgenlerinin Euler kesişme gerçekleşir.
doğruları bir noktada
kesişir. Bu noktaya
Schıffler Noktası denir.
S ile gösterilir.

Soru ( 1990 BALKAN ):
ABC üçgeninin yükseklik ayakları D, E, F olmak üzere; DEF üçgeninin iç teğet çemberi
kenarlara G, H, I noktalarında teğettir. ABC üçgeninin Euler doğrusunun, GHI üçge-
ninin de Euler doğrusu olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- ABC üçgeninin diklik merkezi X nokta-
sı ise, şunu söyleyebiliriz: X noktası
DEF üçgeninin iç teğet çemberinin
merkezi iken GHI üçgeninin çevrel
çemberinin merkezidir.
2- [DE] ve [DF] üzerindeki teğet değme
noktaları sırasıyla H ve I olsun. Bu
durumda [HI] ⊥ [DX] ve [HI] // [CB]
olur. Benzer şekilde [GI] // [AB] ve
[GH] // [AC] olacağından ABC ve GHI
üçgenlerinin Euler doğruları paraleldir.
3- Bu ikisini birlikte değerlendirirsek, hem Euler doğruları paralel olacak hem de her iki Euler doğ-
rusu X noktasından geçecek, yani kısacası bu doğrular çakışıktır.

233