Page 237 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 237
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
Soru ( 1997 BALTIK ÜLKELERİ ):
Bir doğru üzerindeki beş nokta A, B, C, D, E olmak üzere IABI=IBCI=ICDI=IDEI dir.
F noktası bu doğrunun dışındadır. ADF ve BEF üçgenlerinin çevrel çemberlerinin
merkezleri sırasıyla G ve H ise, kanıtlayınız ki GH ⊥ FC dir.
Çözüm:
1- N, H' ve G' sırasıyla BDF, BCF ve
G' CDF
CDF üçgenlerinin çevrel çember-
lerinin merkezi olsun. N, G, G'
noktaları [DF] nin kenar orta dik-
F F N BDF H BEF
H' mesi üzerindedir. BEF üçgeninin
BCF
çevrel çemberinin merkezi H ise
H', N, H noktaları da [BF] den
H G
G ADF dolayı doğrusaldır.
A 1 B 1 B' 1 C 1 C' 1 D 1 E
A B C D E 2 2 2 2
2- [BC] ve [CD] nin orta noktalarını işaretleyelim; sırasıyla B' ve C' olsun. Şimdi ADF ve BCF
üçgenlerine bakıyoruz; bu üçgenlerin çevrel çemberlerinin merkezlerini taşıyan doğru (yani GH'
doğrusu), B' noktasında [AE] ye diktir. Aynı şekilde BEF ve CDF üçgenlerinin çevrel çemberle-
rinin merkezlerini taşıyan HG' doğrusu da C' noktasında [AE] ye diktir.
3- G nin N ye göre simetriği G' noktası ve H ın N ye göre simetriği H' noktası olduğundan, GHG'H'
bir paralelkenardır. BCF ve CDF üçgenlerinde [CF] ortak kenarına H' merkezinden çizilen kenar
orta dikmesi ile G' noktasından çizilen kenar orta dikmesi çakışıktır.
O halde G'H' ⊥ FC ve HG ⊥ FC dir.
Soru:
Diklik merkezi H olan bir ABC üçgeninin P noktasına göre Simson doğrusu, [HP] nin orta
noktasından geçer. Bunu nasıl kanıtlarız?
Çözüm:
çap 1- Diklik merkezinin kenarlara göre simetrileri
çevrel çember üzerinde olduğu için
E E
P P IHLI=ILKI dır.
C C
2- K ve P yi birleştiren doğru parçasının [AB]
D D X yi kestiği nokta N, [PF] nin çemberi kestiği
nokta R ve [HN ile [PF nin kesiştiği nokta
H H
Q olsun. Bu aşamada
Çapın iki ucuna ait Simson A B A B s(NKH)=s(NHK)=s(NPQ)=s(NQP) dir.
F L N F
doğruları birbirine diktir. Niçin? C ve R noktalarını birleştirelim;
s(PRC)=s(PKC) olduğu açıktır, dolayısıyla
K
R [CR] // [HQ] olduğunu anlarız.
Q
3- PDFB kirişler dörtgeni olduğu için s(PBD)=s(PFD) dir. Ayrıca çevre açıdan s(PBC)=s(PRC) dir.
Bu da demek oluyor ki [FE] // [RC] dir.
Sonuçta, [HP] ∩ [FE] ={X} ise PXF≈PHQ olur. IPFI=IFQI olduğundan IPXI=IXHI bulunur, bu
kanıtı tamamlar.
236
