Page 240 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru ( 1973 A.B.D ):
Şekildeki gibi ABC ve PQR üçgen-
R
leri veriliyor.
s(ADB)=s(BDC)=s(CDA)=120° ise
A
c X=u+v+w olduğunu gösteriniz.
u
b X X
c
D O
w v
C a B b a
Q X P

Çözüm:

R 1- BAD üçgenini B köşesinden
60° döndürdüğümüzde BDD'
Steiner Ağları: A b eşkenar üçgen, C-D-D'-A' nok-
A'
Steiner, Fermat'ın problemini u u c O' taları doğrusal ve
genişleterek, dört (veya daha b v D' a s(A'BC)=60°+s(B) olur.
fazla) nokta için en kısa yolu D v c X B X 60°
w v 60° 2- OPQ üçgenini P köşesinden
buldu. Şekildeki gibi verilen O a 60° döndürdüğümüzde POO'
dört nokta için en kısa yol C a B
b a eşkenar üçgen ve
şöyle bulunur: iki eşkenar s(RO'O)=s(ACB) olur.
üçgenin tepe noktaları birleşti-
rilir. Bu doğru ile eşkenar Q X P
üçgenlerin çevrel çemberleri-
nin kesişim noktaları işaretle- 3- s(POR)=s(POO')+s(O'OR)=60°+s(B) olduğu için A'BC ≅ ROP (KAK) olur.
nir. Bulunan bu iki noktayla Böylece X=u+v+w bulunur.
dörtgenin köşeleri birleştirilir.
Böylece yol (aşağıdaki ince
çizgili yol) bulunmuş olur.
(Eşkenar üçgenler sağ ve sol
taraftan da eklenebilirdi. Sizce
hangisi daha kısa olur?)
Soru:
A Şekildeki ABC üçgeninde D, E ve F noktaları yükseklik
F ayakları; X, Y, Z ve T noktaları ise, D noktasından bulunduk-
ları kenara indirilen dikme ayaklarıdır. X-Y-Z-T noktalarının
X H
Y E doğrusal olduğunu gösteriniz.
Z
T
B C
D
Çözüm:
A 1- BDHF kirişler dörtgeni olduğuna göre, X-Y-Z noktaları D
noktasına ait Simson doğrusu üzerindedir.
F
Diğer taraftan CDHE kirişler dörtgeninde Y-Z-T noktaları D
X
H E noktasına ait Simson doğrusu üzerindedir.
Y
Z Nitekim X-Y-Z-T noktaları doğrusaldır.
T
B C
D

239