Page 236 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

4.24 Simson ( 1687-1768) Doğrusu

ABC üçgeninin çevrel çemberi İspat:
üzerinde alınan P noktasından
BC, AC ve AB doğrularına
indirilen dikme ayakları D, E E P E P
ve F ise; D-E-F noktaları doğ- C C 1- IAFI=IPAI.cos(PAF) , IFBI=IPBI.cos(PBF) ,
rusaldır. Bu doğruya Simson
D IBDI=IPBI.cos(PBD) , IDCI=IPCI.cos(PCD) ,
Doğrusu denir.
ICEI=IPCI.cos(PCE) , IEAI=IPAI.cos(PAE) ve
s(PAF)=s(PCD) , s(PBD)=s(PAE) ,
A B A B s(PCE)=s(PBF) olduğundan
F IPAI.cos(PAF) F

O halde D-E-F noktaları doğrusaldır.

Soru ( 2003 ÇİN ):
ABCD kirişler dörtgeninde P, Q, R noktaları sırasıyla D noktasından [BC], [AC] ve [AB]
kenarlarına çizilen yükseklik ayakları olmak üzere, IPQI=IQRI olması için gerek ve yeter
şart, ABC ve ADC açılarının açıortaylarının AC üzerinde kesişmesidir. İspatlayınız.

PECD, PDFB ve Çözüm:
PCAB çemberseldir.
1- DQPC bir kirişler dörtgenidir,
O halde s(DPC)=s(DQC)=90° dir, bu yüzden
R R
s(PDE)=s(PCE)= D D s(DPQ)=s(DCA) dır. Benzer şekilde ARDQ
A A
s(PBA)=180°-s(PDF) dir. kirişler dörtgeni ve s(DAC)=s(DRP) dir.
Bu ise E, D, F nin Q Q Bu ikisi bize DCA ≈ DPR olduğunu söyler.
doğrusal olduğunu
gösterir. 2- Aynı yoldan gidilirse
BAD ≈ PQD, CBD ≈ QRD olduğu görülür.
B C B C
P P

3- İç açıortay teoremi göz önüne alınırsa ''IPQI=IQRI ⇔ ABC ve ADC açılarının açıortayları AC
üzerinde kesişir'' ifadesinin doğruluğu anlaşılır.

235