Page 238 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

4.25 Fermat ( 1601 - 1665 ) Noktası

Her açısı 120° den küçük bir İspat:
ABC üçgeni içinde alınan bir
P noktası için, IPAI+IPBI+IPCI A A' A 1- ABP üçgenini B köşesinden 60°
toplamını en küçük yapmak döndürün, A'BP' üçgenini oluştu-
P'
isteniyorsa run. BPP' eşkenar üçgendir,
s(APB)=s(APC)=s(BPC)=120° IPAI+IPBI+IPCI toplamının mini-
alınmalıdır. Bu şartı sağlayan 120° 120° 60° P mum olması için IA'P'I+IP'PI+IPCI
P noktasına Fermat Noktası P 60°- 60°- toplamı minimum olmalıdır.
denir. Eğer bir köşedeki açı
B C B C
en az 120° ise, Fermat nokta-
sı bu köşe ile çakışık durum- 2- [A'P'PC] kırık çizgisinin minimum olmasını istiyoruz, bunun için doğrusallık gerekir. Dolayısıyla
dadır. s(BPP')=60° ise s(BPC)=120° olur. Benzer biçimde s(APB)=s(APC)=120° bulunur.

Dar açılı bir ABC üçgeni içinde bir P noktası alınıyor. Üçgenin dışına doğru [AB] kenarı üzerinde
ABD eşkenar üçgeni oluşturulursa
Fermat noktası'nın
yerini basit bir deneyle
bulabiliriz: Üçgenin Bu eşitsizliğe Fermat Eşitsizliği denir.
köşelerinden delikler
açıp, aşağıya doğru
üçgen düzlemine dik
ipler sarkıtın. Bu iplerin
ucuna eşit ağırlıklar Soru:
bağlayın. Sonra da
iplerin üst uçlarını Kenar uzunlukları a, b, c ve alanı A olan ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktası
düğümleyin. İşte bu
düğüm bizi Fermat
noktasına götürecektir.

Çözüm:
1- Kosinüs teoremi uygularsak

2- A(ABC)=A(APB)+A(BPC)+A(CPA) olduğundan

237