Page 242 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Uyarı:
ABC üçgeninin kenarlarının üzerine (dışa doğru) kurulan üç eşkenar üçgenin merkezleriyle olu-
Kontak üçgenin kenarlarına, şan eşkenar üçgene Dış Napolyon Üçgeni denir. ABC üçgeninin kenarlarının üzerine (içe doğru)
Ge noktasından çizilen
paralellerin üçgenin kenarla- kurulan üç eşkenar üçgenin merkezleriyle oluşan eşkenar üçgene ise İç Napolyon Üçgeni denir.
rını kestiği 6 nokta çember- İç ve dış Napolyon üçgenlerinin merkezleri aynıdır; alanları arasındaki fark ABC üçgeninin alanı-
seldir. Bu çembere Adams na eşittir.
Çemberi denir. Içteğet çem- aaaa
ber ile Adams çemberi
aaaa
eşmerkezlidir. aaaaaaa
C' aaaaaaa A Napoleon Bonaparte' nin bulduğu söylenilen bu teoremi
Spiral benzerlikten faydalanarak gösterelim.
D

A B 60° C E B' Benzerlik sonucu, hem [DF] hem de [DE] kenarı [CC'] kenarı-
na dönüşmüştür. Benzerlik katsayısı aynı olduğu için, benzer-
F
likten önce IDFI=IDEI olduğunu anlarız.
Ayrıca +30° ve -30° yaparak çakıştıkları için, başlangıçta [DF]
Ge ve [DE] arasındaki açı 60° dir. O halde EDF bir eşkenar
I A' üçgendir.
B C

İm Napolyon Teoremini karmaşık sayılarla gös-

BA ⋅cis60 ° terelim.

BA ⋅cis60 ° + B = C' ABC üçgeninin köşeleri yerine karmaşık düz-

BA lemde, A, B ve C sayıları alınsın.
A olmak üzere (A-B) sayısı ω=cis60° ile çarpılırsa
D
60° dönme gerçekleşir. Buna B eklenirse C'
A B' bulunur.
60° E
F
E Bu pencereden C'=B+ω.(A-B), B'=A+ω.(C-A)
O ve A'=C+ω.(B-C) dir.
B Re
D C B C
D ağırlık merkezini, D karmaşık sayısı ile göste-
relim. Şu halde
F
A'
ABC üçgeninin kenar uzan-
tılarıyla, kontak üçgenin
kenar uzantılarının kesim
noktaları doğrusaldır. Bu
doğruya Gergonne doğrusu
denir. Ayrıca Gergonne doğ- Bu bize DEF nin eşkenar üçgen olduğunu gösterir.
rusuyla Euler doğrusunun
kesiştiği noktaya da Evans
noktası denmektedir. Bilgisayar teknolojisinin ilerlemesiyle, üçgene ait yüzlerce özel nokta bulunmuştur.
Bunların ispatları gittikçe cebire dayanır. Biz burada başlıcalarını incelemiş olduk.
Şimdi de 5. bölüme geçiyoruz.

241