Page 241 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.26 Gergonne ( 1771 - 1859 ) Noktası

ABC üçgeninin iç teğet çem- İspat:
berinin [BC], [AC] ve [AB]
A A 1- IAEI=IAFI, IBDI=IBFI ve ICEI=IDCI
kenarlarına değme noktaları
sırasıyla D, E ve F ise; [AD], eşitliklerini taraf tarafa çarpalım:
IAFI.IBDI.ICEI=IEAI.IFBI.IDCI olur.
[BE] ve [CF] bir noktada kesi- F F
şir. Bu noktaya Gergonne nok- 2- Buradan
tası denir. Genellikle 'Ge' diye I Ge E I Ge E
gösterilir. bulunur. [AD], [BE] ve [CF] nin bir
noktada kesiştiğinin kanıtı ise
B C B C
D D Ceva teoremidir.
4.27 Nagel ( 1803 - 1882 ) Noktası

ABC üçgeninin dış teğet çem- İspat:
berlerinin [BC], [AC] ve [AB]
1- D, E ve F noktaları değme
kenarlarına değme noktaları
sırasıyla D, E ve F ise; [AD], noktaları olduğundan
[BE] ve [CF] bir noktada kesi- IFBI=ICEI=u-a
şir. Bu noktaya Nagel noktası IEAI=IBDI=u-c
veya Yarı Çevre Noktası denir. A A
IDCI=IAFI=u-b dir.
u-c
E u-b E
F F
u-a u-a
N N
B D C B u-c D u-b C

2- Bu eşitlikleri taraf tarafa çarptığımızda

O halde [AD], [BE] ve [CF] bir noktada kesişir.

4.28 Napolyon ( 1769 - 1821 ) Noktası

ABC üçgeninin kenarları D, E İspat:
ve F merkezli ABC', ACB' ve
BCA' eşkenar üçgenleri ile C' C' 1- ABC üçgeninin içerisinde Fermat
donatılırsa, DEF bir eşkenar noktamız P olsun.
üçgen olur. [AF], [BE] ve [CD] A A s(AC'B)+s(BPA)=60°+120°=180°
D ise AC'BP bir kirişler dörtgenidir.
bir noktada kesişir. Bu noktaya D
I.Napolyon Noktası denir. E B' 60° Y E B' Aynı şekilde BA'CP ve CB'AP
60° dörtgenleri de birer kirişler dörtge-
120°
P
N nidir.
X
B C B C 2- F ve D noktaları merkez olduğu
60°
için FBP ve DBP üçgenleri birer
F F ikizkenar üçgen, dolayısıyla
DPFB bir deltoid olur. DPFB del-
toidinde köşegenler dik kesişir.
A' A'
Öte yandan, ADPE deltoidinin de köşegenleri dik kesişir. Böylelikle DXPY dörtgeninde
s(XDY)=60° bulunur. Aynı bakış açısıyla s(DEF)=s(EFD)=60° olacağı için, ortada duran DEF
üçgeni bir eşkenar üçgendir.
240