Page 245 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

5.1 Çokgen
Soru ( 1915 EÖTVÖS ):
Bir çokgenin tamamen içerisinde olan üçgenin çevresinin, çokgenin çevresini
aşamayacağını kanıtlayınız.

Çözüm:
P
A A
1- Burada kullanacağımız esas araç 'üçgen
eşitsizliği' olacak.
C C R ABC üçgeninin kenarlarını uzatalım, bun-
B B lar çokgeni P, Q ve R noktalarında kessin.
Şu halde
Q

2-
Dolayısıyla iddiamız kanıtlanmıştır.

Soru ( 2003 AİME ):
s(FAB)=120° olan ABCDEF konveks altıgeninin bütün kenarları eşit ve karşılıklı kenar-
ları paraleldir. A ve B köşelerinin ordinatları sırasıyla 0 ve 2; diğer köşelerin ise 4, 6, 8,
10 dur. Buna göre A(ABCDEF) nedir?
Çözüm:
D(d,10) 1- s(BAK)=α olmak üzere; B, C, D, E,
E(e,8) F noktalarının ordinatları sırasıyla 2,
D
C(c,6) 7 6, 10, 8 ve 4 olarak alınabilir.
4 ⋅ E
3 Şu durumda B den çizilen yükseklik
4 C
F f h F den çizilen yüksekliğin yarısı
F(f,4)
120° B(b,2) 4 B(b,2) kadardır. Problemin bir koşulu ola-
60°- α α 60°-α α rak kenarlar eşit verildiği için
A(0,0) K 8 A 10 K
3 3 2sinα=sin(60°-α) olur ve böylelikle
2- B(b,2) alırsak

3- IAFI=IEFI ve F den çizilen yükseklik E den çizilen yüksekliğin yarısı olduğu için E köşesi A
köşesinin dikey olarak üstündedir. (Üstünde midir?) Benzer düşünce ile D köşesinin de, B
köşesinin üstünde olması gerekir.
O halde AFE üçgeninde IAEI=8 ve

244