Page 246 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

Soru ( 1958 MACARİSTAN ):
ABCDEF konveks altıgeninin karşılıklı kenarları paralel ise, A(ACE)=A(BDF) dir.
Gösteriniz.
Çözüm:

D D D
d 3
E E d 2 d' 1 E d' 3
C C C
D 1
E 1
C 1
F F F F 1 B 1
A 1
B B B
A A d' 2 A
d 1
1- A, C ve E noktalarından BC, DE ve AF doğrularına sırasıyla d , d ve d paralellerini çizerek
1 2 3
d ∩ d = {A }, d ∩ d = {C }, d ∩ d = {E } diyelim. Paralelkenarda, köşegenin alanı iki eşit parça-
1 3 1 1 2 1 2 3 1
ya ayırdığını biliyoruz. Buradaki plânımız şu: Altıgenin alanıyla ortada oluşan üçgenin alanları far-
kının yarısına ortadaki üçgenin alanını eklediğimizde ACE üçgeninin alanını bulmuş olacağız.

3- IA C I=|IBCI-IEFI |, IC E I=| IDEI-IABI |, IA E I=| IAFI-IDCI | ve
1 1 1 1 1 1
IB D I=| IBCI-IEFI |, ID F I=| IDEI-IABI |, IB F I=| IAFI-IDCI | olduğuna göre ortadaki üçgenle-
1 1 1 1 1 1
rin alanları eşittir. Bu yüzden A(ACE)=A(BDF) olmalıdır.

Soru ( 1964 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
Açıları eşit ABCDEF konveks altıgeninde; IABI-IDEI=IEFI-IBCI=ICDI-IFAI olduğunu
kanıtlayınız.
Çözüm:
1- Köşeleri budanmış bir üçgen görüyoruz; açıları
eşit ABCDEF konveks altıgeninde AB, CD, EF
doğruları uzatılınca şekil bir eşkenar üçgene dönü-
şür. Eşkenar üçgenin kenar uzunlukları eşit oldu-
ğundan
IFAI+IABI+IBCI=IBCI+ICDI+IDEI=IDEI+IEFI+IFAI
olur. Bu sayede
IABI-IDEI=IEFI-IBCI=ICDI-IFAI bulunur.

245