Page 247 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1953 KURSCHAK ):
ABCDEF altıgeninin bütün kenarları birbirine eşit ve s(A)+s(C)+s(E)=s(B)+s(D)+s(F)
ise; gösteriniz ki s(A)=s(D), s(B)=s(E) ve s(C)=s(F) dir.
Çözüm:
E'' D'' 1- Altıgenin iç açılar toplamı 720° olduğun-
dan s(A)+s(C)+s(E)=360° ...(1) dir. Şekil-
E D E D F'' deki gibi ABCDEF altıgenini A'B'C'D'E'F'

y x C'' ve A''B''C''D''E''F'' olarak taşırsak, ( [BC]
F F z üzerine [E'F'] ve [CD] üzerine [A''B'']
A'' B''
C x C D' gelecek şekilde ) A, C ve E açıları bir
E'
y noktada toplandığı için C-E'-A'' bir tam

A B A B açı oluşturur.
F' x C'

A' B'
2- IBFI=x, IFDI=y, IDBI=z ve s(BDF)=α, s(FBD)=β ve s(BFD)=θ olarak alınırsa IBD'I=y ve
IDD'I=x olur. FBD ≅ D'DB (KKK) olduğu için s(DBD')=s(FDB)=α olur. Benzer şekilde
s(D'BB')=s(BFD)=θ olur. Burada α+β+θ=180° olduğu için FBB' doğrusaldır.
3- AFB, A'F'B' ve A''F''B'' ikizkenar üçgenleri eştir. s(AFB)=μ dersek s(BDC)=β-μ olur.
s(AFD)+s(FDC)=μ+θ+α+β−μ=180° dir. O halde [AF] // [A'F'] // [A''F''] dir. Aynı düşünce ile
diğer karşılıklı kenarlar da paralel olur. Böylece s(A)+s(F)+s(E)=360°...(2) bulunur.
(1) ve (2) birlikte değerlendirilirse s(C)=s(F) olur. Benzer biçimde s(A)=s(D) ve s(B)=s(E) dir.

Soru ( 1963 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
Bir altıgenin üç köşegeni de alanı iki eşit parçaya ayırıyorsa, bu köşegenler bir noktada
kesişir. Gösteriniz. (ABCDEF altıgeninde [AD], [BE] ve [CF] köşegenleri anlaşılmalıdır.)
Çözüm:
D 1- ABCDEF altıgeninde; BE ∩ CF={J},
E E D AD ∩ CF={K}, BE ∩ AD={L} olsun.
e d IAKI=a, IBJI=b, ICJI=c, IDLI=d, IELI=e,
L IFKI=f, IKLI=x, ILJI=y ve IKJI=z diyelim.
F f x y F [AD] ve [BE] köşegenleri alanı iki eşit par-
K z c
J çaya ayırdığından
C C
a b
A B A B

2- Aynı teknikle (e+y). (f+z)=b.c ...(2) ve (c+z). (d+x)=a.f ...(3) bulunur. (1), (2) ve (3) deki eşitlik-
ler taraf tarafa çarpılırsa abcdef=(a+x).(b+y).(c+z).(d+x).(e+y).(f+z) bağıntısı elde edilir. Bu
bağıntının sağlanması için x=y=z=0 olmalıdır.
Bu ise, köşegenlerin bir noktada kesiştiğinin göstergesidir.
246