Page 250 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Soru ( 1968 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarları üzerinde sırasıyla D ve E noktaları;
IADI=IDEI=IACI, IBDI=IAEI ve [DE] // [BC] olacak şekilde alınıyor. Bu şartlar altında,
IBDI düzgün ongenin bir kenarı ise, bu ongenin iç teğet çemberinin yarıçapı IACI uzun-
luğuna eşit olur. Gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- ADE üçgeni ikizkenar oldu-
x
2 ğundan, ABC üçgeni de ikizke-
y y
x K nardır.
L
E D E D IBDI=x, IADI=y dersek
y IDEI=IACI=y, IAEI=x ve
y-x x x
IABI=IBCI=x+y olur.
C B C B
x+y
D ve B noktalarından [AC] kenarına [DK] ve [BL] yükseklikleri çizilince IAKI=IKEI ve IALI=ILCI olur.
2- AKD üçgeninde x=2ycosA ve ALB üçgeninde
IBDI=IABI-IADI=x olduğu için

2- s(A)=s(C) olduğundan s(A)<90° dir. Yukarıdaki denklemin kökü cosA olmak üzere,

3- Düzgün 10-genin bir kenarı IBDI olarak tasarlanırsa, merkez açı 36° ve çevre açı 18° olur.
Sinüs teoreminden IBDI=2Rsin18° yazılacağı için R=IACI eşitliği doğrulanır.

2Rsin15° Soru ( 1990 AİME ):
2Rsin150° Bir düzgün 12-genin çevrel çemberinin yarıçapı 12 ise, bu çokgenin kenar uzunlukla-
2Rsin135°
rıyla köşegen uzunlukları toplamını bulunuz.
2Rsin105°
2Rsin120° Çözüm:
1- İstenilen uzunlukları sinüs teoremiyle ifade edip toplayacağız. Düzgün 12-gende bir kenarı
2Rsin90°
gören merkez açı 30° derece olduğu için bir kenar uzunluğu 2.12.sin15° dir. Benzer düşünce
ile köşegen uzunlukları; 24.sin30°, 24.sin45°, 24.sin60°, 24.sin75° biçiminde yazılabilir.
2- Bu köşegenlerden 12 şer tane ve çaptan ise 6 tane mevcuttur.
Bizden istenen toplama T dersek,

249