Page 392 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru:
ABC üçgeninin çevrel çemberi çiziliyor. AB ve AC küçük yaylarının orta noktaları D ve E
olmak üzere, BC küçük yayı üzerinde bir P noktası alınıyor. DP ∩ BA={X}, PE ∩ AC={Y}
ve I iç merkez ise gösteriniz ki X, I, Y noktaları doğrusaldır.

Çözüm:
A E A E 1- C, D, P, E, B, A çembersel noktaları Pascal teoremi-
ne dayanarak şunu söyler: I, X, Y doğrusaldır.
D D
Y Y
X I X I
B C B C
P

Soru ( 1991 İMO Shortlist ):
ABC üçgeninin içerisinde bir P noktası alınıyor. P noktasından [AC] ve [BC] kenarlarına
indirilen dikme ayakları sırasıyla P ve P dir. Ayrıca C noktasından AP ve BP doğrula-
1
2
rına indirilen dikme ayakları sırasıyla Q ve Q dir. Eğer Q ≠P ve Q ≠P ise P Q , Q P 2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
ve AB doğrularının bir noktada kesişeceğini gösteriniz.
Çözüm: 1- CQ P PP Q noktaları [CP] çaplı
1 1
2
2
çember üzerindedir. Şu halde
C C
CP ∩ PQ ={A}, CP ∩ Q P={B}
1 1 2 2
Q2 Q2 ve Q P ∩ P Q ={X} tir. Dairesel 6
P2 P2 2 1 2 1
P1 P1
P P noktanın sıralaması CP Q PQ P
1
1 2
2
Q1 Q1 şeklinde ayarlanırsa, Pascal teore-
mi yardımıyla A-X-B noktalarının
A B A B
X doğrusal olduğunu anlarız.
6.12 Newton Teoremi
ABCD teğetler dörtgeninin İspat:
[AB], [BC], [CD] ve [DA] kenar-
larına değme noktaları sırasıy- K 1- EG ∩ HF={O} ve EF ∩ HG={K} olsun.
la E, F, G ve H ise; AC, BD, Pascal teoremiyle G, E, E, F, H, H nok-
EG, FH doğruları bir noktada talarına bakıp O, A, K noktalarının doğ-
kesişir. rusal olduğunu söyleyebiliriz.
A A
H H
D D
E G E G
O O
B F C B F C
Aynı şekilde G, G, H, F, F, E noktalarına bakıp C, K, O noktalarının doğrusal olduğunu söyle-
yebiliriz. Demek ki AC, EG, FH doğruları bir O noktasında kesişmektedir. Benzer düşünce ile
BD, EG, FH doğrularının da O noktasında kesiştiği anlaşılır ki böylece Newton teoremi ispat-
lanmış olur.
391