Page 391 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

6.11 Pascal ( 1623 - 1662 ) Teoremi

Bir çember üzerinde A, B, C, İspat:
D, E ve F noktaları alınarak
X 1- Şekildeki K, L ve N noktalarının
oluşturulan altıgende
Y çembere göre kuvvetlerini
AB ∩ DE={Y}, BC ∩ EF={X}, A F A K yazarsak, IKFI.IKEI=IKAI.IKBI,
CD ∩ FA ={Z} ise, Y-X-Z nok- B B F ILDI.ILCI=ILEI.ILFI ve
E E
taları doğrusal olur. INCI.INDI=INBI.INAI olur.
C D N C D L Z
2- KNL üçgenine X, Y ve Z noktalarından Menelaus teoremi uygulayalım.

Buradan X-Y-Z noktalarının doğrusal olduğunu söyleyebiliriz.

A Soru:
Q D ABCDEF bir çember üzerindeki 6 nokta olmak üzere; AB ∩ DE={P}, BC ∩ EF={R} ve
Z
CD ∩ FA={Q} olduğuna göre, P-R-Q noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz. (Pascal)
C P
Çözüm:
E R F
A 1- XYZ üçgenine; DPE, AQF, BRC kesenlerine
göre Menelaus teoremi uyguluyoruz:
Q D
Z
B
C P
2- X, Y, Z noktalarının çembere göre kuvveti
X F
E R Y
eşitliğini yazmamızı sağlar.
B
Bundan dolayı üstteki eşitlik haline gelir .

Bu ise P-R-Q noktalarının doğrusal olduğunu gösterir.
Soru ( 2001 MAKEDONYA ):
ABC üçgeninin çevrel çemberine A dan çizilen teğet BC yi D noktasında, B den çizilen
teğet CA yı E noktasında, C den çizilen teğet AB yi F noktasında kesiyor. Buna göre
gösteriniz ki D, E, F noktaları doğrusaldır.
Çözüm:
1- Teğetler A, A, B, B, C, C şeklinde
şeklinde algılanırsa, Pascal teore-
E E minde ihtiyacımız olan 6 noktanın
F F
A A şekilde hazır olduğu görülür.
B C D B C D

AA ∩ BC={D}, AB ∩ CC={F}, BB ∩ CA={E} olduğundan D, F, E doğrusaldır.
390