Page 85 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Uyarı: Soru:
ABC üçgeninin içerisinde D noktası alınıyor.
Matematiğin diğer ko-
nularında olduğu gibi üçgen s(DBA)=a, s(DBC)=b, s(DCB)=c, s(DCA)=d, s(DAC)=e ve s(DAB)=f ise,
içerisinde veya dışarısında alı-
nan bir noktanın, köşelerle sina.sinc.sine=sinb.sind.sinf olduğunu gösteriniz. (Trigonometrik Ceva)
oluşturduğu açıların tamsayı
olma durumları da başlı başı- Çözüm:
na bir inceleme gerektirir.
A 1- Sinüs teoremiyle sonuca ulaşalım:
Bu tip sorular hem yerli hem
de yabancı olimpiyatlarda f e
sorulmaktadır. Trigonometrik
çözüm metoduyla cevap Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa
D
kolaylıkla bulunabilir. Sentetik d sina.sinc.sine=sinb.sind.sinf bağıntısı elde edilir.
kazanımları çeşitlendirmek a c
amacıyla bu tip soruları bu B b C
kısımda biraz daha ayrıntılı
olarak inceleyeceğiz.

Soru:
ABC üçgeninin içerisinde D noktası; s(ABD)=56°, s(DBC)=2°, s(DCB)=2° ve
s(DCA)=28° olacak şekilde alınırsa IDCI=IABI olur. Gösteriniz.
Çözüm:

K
1998 Kanada sorusu,
A A
α+β=30° olmak üzere;
α,α,β,2β,90°-β ve 30° mode- 1
lindedir (α=10°).
Modeldeki açılar hem D 2° D
sinα.sin2β.sin30°=sinα.sinβ.
56° 28° 56° 28°
sin(90°-β) eşitliğini sağlar 2° 2° 2° 2°
hem de iç açılar toplamıyla B C B 1 H 1 C
çelişmez.
1- CBK 30°-60°-90° üçgenini planlayalım; IBKI=1 iken IBCI=2 olur.
2- BDC ikizkenarında [DH] yüksekliği ile IHCI=1 bulunur.
3- BAK ≅ CDH olup IDCI=IDBI=IBAI dır.

Soru ( 1998 KANADA ):
A
90°- 30° s(A)=40° ve s(B)=60° olan ABC üçgeninin içinde bir X noktası alınıyor öyle ki
D s(XBA)=20° ve s(XCA)=10°dir. Buna göre AX ⊥ BC olduğunu gösteriniz.
2

B C
Çözüm:
A A 1- Trigonometrik cevadan
sinα.sin40°.sin10°=sin(40°-α).sin70°.sin20° dir.
30° 10° sin40°=2sin20°cos20° ve cos20°=sin70° olduğu
için 2sinα.sin10°=sin(40°-α) dan α=30° dir.
40°-
X X
20° 10° 20° 10°
40° 70° 40° 70°
B C B C
84