Page 86 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

Soru:
ABC üçgeninin içerisinde alınan D noktası için;
s(DBC)=s(DCB)=α, s(DCA)=β, s(DBA)=2β ve α+β=30° ise, s(DAC)=30° dir. Gösteriniz.

Çözüm:
P
60°
A 60°+ A

D 60°-2 60° D

2 2

B C B C
1- IBDI=IDCI=IDPI olacak şekilde CA uzantısında bir P noktası işaretleyelim. Bu durumda
s(PDB)=2α+2β=60° olacağı için, PDB eşkenar üçgeni oluşur. (Başka bir söylemle, DPCB
merkezil dörtgenini oluşturmuş olduk.)
2- Şu halde s(ABP)=60°-2β ve s(PAB)=60+β dır. Dolayısıyla s(PAB)=s(APB)=60°+β olduğun-
dan, PAB ikizkenar üçgen ve IBPI=IBAI olur.
3- Sonuçta IABI=IBDI olduğundan BAD ikizkenarının taban açıları 90°-β dır. P-A- C doğrusal
olduğu için s(DAC)=30° dir.

Uyarı:
* sina.sinc.sine=sinb.sind.sinf bağıntısında eşitliğin aynı tarafındaki ( a ve c gibi ) iki açının
yer değişmesi bağıntıyı değiştirmez fakat ABC çerçeve üçgenini değiştirir.
Aşağıdaki şekil 1' den şekil 2' nin elde edilişini inceleyiniz.
ADB üçgeninin çevrel çemberi [CA] uzantısını P noktasında kessin. PBDA kirişler dörtgeni
olduğundan ; s(ABD)=2β → s(APD)=2β ve s(BAD)=90°-β⇒ s(BPD)=90°-β olur. α+β=30°
olmak üzere, s(BDP)=s(DBC)+s(DPC)+s(BCP) → s(BDP)=60°+β olur.
BDP üçgeninde; s(BPD)+s(BDP)+s(DBP)=180°→ (90°-β)+(60°+β)+s(DBP)=180° ve
s(DBP)=30° bulunur.

P
A A
90°- 30° 90°- 30°
D D

2 2

B C B C
şekil1
P
A
90°- 2

D

30°
B C
şekil2

85