Page 83 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 83

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                                   Soru (1992 HİNDİSTAN):
                                                                  2
                                  s(A)=2s(B) olan ABC üçgeninde b.(b+c)=a olduğunu ispat ediniz.
                                  Çözüm:
                                  1- Sinüs teoreminden

                                  2-






                                   Soru (1995 HİNDİSTAN):
                                  s(A)=30° olan dar açılı ABC üçgeninde H diklik merkezi ve M ise [BC] kenarının orta
                                  noktasıdır. HM doğrusu üzerinde IHMI=IMTI olacak şekilde T noktası alındığında
                                  IATI=2IBCI olur. Gösteriniz.
                                  Çözüm:
                                                  C                   C   1-  Köşegenleri birbirini ortalayan HBTC
                                                                            dörtgeninin bir paralelkenar oluşu
                                                    T                   T
                                                                            gözümüze çarpar. Bu yüzden
                                                 M                    M
                                                                            s(TCA)=s(TBA)=90° olur.
                                                 H                  H
                                                                          2- ABTC çemberseldir; ABTC çemberi-
                                  A                 B A                B    nin yarıçapına R dersek
                                                                            IBCI=2R.sin30° ve IATI=çap=2R olur.
                                                                            İşte sonuç: IATI=2IBCI dir.



                                   Soru (2001 HİNDİSTAN):
                                  ABC üçgeninin A açısının iç açıortayının [BC] kenarını kestiği nokta D olmak üzere,
                                  s(B)=2s(C) ve ICDI=IABI ise s(A)=72° dir. Gösteriniz.

                                  Çözüm:
                                      A                          A


                                                                         E




                                  B        D             C   B        D             C
                                  1-  ABC üçgeninde s(A)=2α ve s(C)=2θ olsun. [BE] açıortayı çizilince IBEI=ICEI olur.
                                  2- E ile D yi birleştirelim, ECD ≅ EBA (KAK) olur. s(CED)=s(BEA)=4θ, s(BAE)=s(CDE)=2α ve
                                    IEDI=IAEI dir.
                                  3-  AED üçgeni ikizkenar olduğuna göre, s(EAD)=α iken s(ADE)=α dır.
                                    ABC üçgeninden 2α+6θ=180° ve ADC üçgeninden 4α+2θ=180° dir. Bu denklem sisteminden
                                    s(C)=2θ=36° ve s(A)=2α=72° bulunur.


          82
   78   79   80   81   82   83   84   85   86   87   88