Page 83 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1992 HİNDİSTAN):
2
s(A)=2s(B) olan ABC üçgeninde b.(b+c)=a olduğunu ispat ediniz.
Çözüm:
1- Sinüs teoreminden

2-

Soru (1995 HİNDİSTAN):
s(A)=30° olan dar açılı ABC üçgeninde H diklik merkezi ve M ise [BC] kenarının orta
noktasıdır. HM doğrusu üzerinde IHMI=IMTI olacak şekilde T noktası alındığında
IATI=2IBCI olur. Gösteriniz.
Çözüm:
C C 1- Köşegenleri birbirini ortalayan HBTC
dörtgeninin bir paralelkenar oluşu
T T
gözümüze çarpar. Bu yüzden
M M
s(TCA)=s(TBA)=90° olur.
H H
2- ABTC çemberseldir; ABTC çemberi-
A B A B nin yarıçapına R dersek
IBCI=2R.sin30° ve IATI=çap=2R olur.
İşte sonuç: IATI=2IBCI dir.

Soru (2001 HİNDİSTAN):
ABC üçgeninin A açısının iç açıortayının [BC] kenarını kestiği nokta D olmak üzere,
s(B)=2s(C) ve ICDI=IABI ise s(A)=72° dir. Gösteriniz.

Çözüm:
A A

E

B D C B D C
1- ABC üçgeninde s(A)=2α ve s(C)=2θ olsun. [BE] açıortayı çizilince IBEI=ICEI olur.
2- E ile D yi birleştirelim, ECD ≅ EBA (KAK) olur. s(CED)=s(BEA)=4θ, s(BAE)=s(CDE)=2α ve
IEDI=IAEI dir.
3- AED üçgeni ikizkenar olduğuna göre, s(EAD)=α iken s(ADE)=α dır.
ABC üçgeninden 2α+6θ=180° ve ADC üçgeninden 4α+2θ=180° dir. Bu denklem sisteminden
s(C)=2θ=36° ve s(A)=2α=72° bulunur.

82