Page 94 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

3.8 Morley ( 1860 - 1937 ) Üçgeni

Bir üçgenin iç açılarını üç eş R
R
parçaya ayıran komşu iki açı-

ortayın kesim noktaları eşke-
nar üçgen oluşturur.
L 60°+
60°+ L
E O 120°+ 60°+ O
E 60°+
Y 60°+ 60°+ Y

M
M
İspat:
1- MOR üçgeninin iç açıları 3α, 3β, 3θ olarak alınırsa α+β+θ=60° ve s(MER)=120°+β olur.
2- MOR üçgeninde sinüs teoreminden IMRI=2R.sin3β dır.
MER üçgeninde sinüs teoreminden

Bu noktada sin3x=4sinxsin(60°+x)sin(60°-x) ...(*) eşitliğini kullanıyoruz.

3- Benzer düşünce ile IMYI=8Rsinβsinθsin(60°+θ) olacağı için

s(MEY)+s(MYE)=180°-α=(60°+β)+(60°+θ) olduğundan s(MEY)=60°+θ ve s(MYE)=60°+β ala-
biliriz. Benzer adımlar takip edilirse, s(REL)=60°+α olur ve dolayısıyla s(LEY)=60° bulunur.
Simetriden s(LEY)=s(EYL)=s(YLE)=60° olur ki bu LEY üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu gös-
terir.

Uyarı:
1899 yılında Frank MORLEY tarafından bulunan şekil ilginç özelliklere sahiptir.
Örneğin, çevrel çember üzerinde (şekildeki gibi) biraz daha çalışılırsa
gibi nazik bir sonuç çıkar.

Yani görüyoruz ki PQS üçgeni de LEY üçgeni gibi bir eşkenar üçgendir.

2 M 1
R 2
2 M 2

2
O 2
S
L

2 E O
P
Y
Q 2
O 1

2 R 1
2
M
2
R 2
93