Page 99 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Çözüm:5
K 1- BKC 20°-40°-120° çerçevesini ele ala-
A
E 60° 60° lım. C köşesinde 4 tane 10° lik açı mey-
70° 70° 40° 40° dana getirildiğinde, BL ve CL açıortay
30° 10°
L iken KL doğrusu da açıortay olacaktır.
20° 10°
10° D 10°
10° 10°
B C
2- KLC üçgeninde (bir iç açı ile iki dış açının bir noktada kesiştiğini hatırlayalım.) [LA] dış açıor-
tay ise s(ALK)=s(ALE)=40° olur. Bu aşamada s(KAC)=50° ve s(LAC)=30° dir.
3- Diğer taraftan EBC üçgeninde [ED] açıortaydır. s(EDL)+s(EAL)=180° olduğu için EDLA bir kiriş-
ler dörtgenidir. Bu bize açıyı hesaplama fırsatı verir; s(DAL)=s(DEL)=70° ve s(BAD)=30° dir.

Çözüm:6
A

130°-
D
sin10° sin10°
10° 20°
10° 10°
B C
1- Trigonometriden
sin(DBC).sin(DCA).sin(DAB)=sin(ABD).sin(DCB).sin(DAC)⇒sin10°sin20°sinα=sin10°sin10°sin(130°-α)
2cos10°sinα=sin(130°-α)*⇒sin(10°+α)-sin(10°-α)=sin(50°+α)⇒sin(10°+α)=sin(50°+α)+sin(10°-α)
sin(10°+α)=2sin30°cos(20°+α)⇒sin(10°+α)=cos(20°+α)⇒10°+α+20°+α=90°⇒α=30° bulunur.
* Denklem 2cos10°sinα=sin(130°-α) halinde iken denklemi çözmeden α yerine 30° konursa eşit-
lik sağlanır. Bu yüzden s(BAD)=30° denilebilir. (Değer verirken iç açılar toplamının 180°
olmasına dikkat ediyoruz.)

Çözüm:7
L 1- BCL 30°-30°-120° ikizkenarı oluşturulursa
60° BLD ≅ CLD (KKK) olur.
60° 60° A
2- LBD üçgeninde (bir iç ve iki dış açıortay bir
40° 40° 40° F noktada kesişir prensibi) [DA] dış açıortay
10° 20° ve s(LDA)=s(ADF)=40° dir. Demek ki DFA
10° D 20°
B 10° 10° C 40°-40°-100° ikizkenar üçgeni ve
s(BAD)=30° dir.

Çözüm:8
K 1- BKC 30°-30°-120° ikizkenarında (daha
40° 40° 40° 50° A önce gördüğümüz MORLEY teoremindeki)
E 50° F DEF eşkenar üçgenini ele alalım. Dikkat
edilirse s(KEA)=s(EAK)=50°, KEFA bir del-
10° D 10° toid ve IEFI=IFAI dır.
10° 10°
B 10° 10° C
3- IEFI=IFDI=IFAI ve s(F)=60° olduğuna göre, F noktası AED üçgeninin çevrel çemberinin merke-
zi ve s(BAD)=30° dir.

98