Page 156 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 156
1997 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 155
5. xy +3x − 5y =17 denklemini sa˘ glayan kaç (x, y) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm : +3 − 5 =( − 5)( +3)+15 olarak yazılırsa, denklem
( − 5)( +3) = 17 − 15 = 2
olur. Buradan,
− 5= −1 +3 = −2 veya
− 5=1 +3 = 2 veya
− 5= −2 +3 = −1 veya
− 5=2 +3 = 1
olabilece˘ ginden, denklemin tam sayılarda dört çözümü vardır.
6. Rakamlarının yerleri de˘ gi¸stirilince elde edilen sayı ile kendisinin toplamı tam
kare olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?
˙
Çözüm : Iki basamaklı sayı =10 + ve onun rakamlarının yerleri de˘ gi¸stirilerek
elde edilen sayı =10 + olmak üzere, + =11 ( + ) sayısının tamkare
olması için + =11 olmalıdır. Dolayısıyla, sayıları 29, 92, 38, 83, 47, 74, 56,
65 olaca˘ gından, 8 tane sayısı vardır.
7. n sayısının kaç tane tamsayı de˘ geri için n +3 sayısı n −n − 1 ile tam
3
2
bölünür?
3
2
Çözüm : +3 ifadesini +3 = ( +1)( − − 1) + (2 +4) ¸seklinde
3
yazabiliriz. Buna göre, ( +3)’ün ( −−1) ile bölünebilmesi için gerek ve yeter
3
2
2
ko¸sul, (2 +4)’ün ( − − 1)’e bölünebilmesidir.
i) = −2 için bu sa˘ glanıyor.
2
ii) 6= −2 ise, (2 +4)’ün ( − − 1)’e bölünebilmesi için
2
|2 +4| ≥ | − − 1|
olmalıdır. Bu sonuncu e¸sitsizlik ise, sadece = −1; 0; 1; 2; 3 için sa˘ glanır. Bu ’ler
3
2
için 2 +4 sayısı − − 1 ile bölünür. Böylece, ’nin altı tane de˘ geri için +3
sayısı − − 1 ile bölünür.
2
8. A ve B kentlerini birle¸stiren iki yol,
¸ sekilde görüldü˘ gü gibi, 10 tane küçük
yol ile kesi¸siyor. Geçilen noktalardan A B
bir daha geçmeksizin A’dan B’ye kaç
de˘ gi¸sik yolla gitmek mümkündür?
Çözüm : Bir simetrik durum söz konusu oldu˘ gu için A dan "üst yol ile" yola çıkan
ki¸sinin gidebilece˘ gi yollar sayısını bularak 2 ile çarpaca˘ gız. "Ana yolun" her bir
"ara yol" ile kesi¸sti˘ gi noktada tam 2 tane seçenek oldu˘ gundan, 2 10 tane de˘ gi¸sik yol
10
izlenebilir. ¸Simdi, A dan B’ye giden tüm yolların sayısını bulmak için 2 u2 ile
11
çarpmalıyız. Böylece, yollar sayısı 2 =2048’dir.
