Page 266 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 265

11. a<b<c sayıları için a + c =2b olursa, (a, b, c) üçlüsüne "aritmetik
üçlü" diyelim. A = {1, 2, 3, .., n} kümesinin elemanlarıyla olu¸sturulabilen tüm
aritmetik üçlüler sayısının 99’dan büyük olması için n tek sayısı en az kaç ol­
malıdır?
Çözüm : (  +   +2) aritmetik üçlüsüne bakalım.  =2 +1 dersek,
 +2 ≤  e¸sitsizli˘ ginden  ≤  olması çıkar. 1 ≤  ≤  için
1 ≤  ≤  − 2 =2 +1 − 2
sa˘ glanaca˘ gından, her  ∈ {1 2 3  } için ’nın alabilece˘ gi de˘ ger sayısı 2+1−2
olur. O halde, tüm aritmetik üçlüler sayısı
 
P P
 = (2 +1 − 2)=  (2 +1) − 2 
=1 =1
 ( +1) 2 2
=  (2 +1) − 2 · =2 +  −  − 
2
2
2
2
e¸sitli˘ ginden  =  olur. Buna göre,   99 e¸sitsizli˘ ginden  ≥ 100 yani,  ≥ 10
elde edilir. Böylece,  =2 +1 tek sayısının en az 21 olması gerekti˘ gi görülüyor.
12. Yükseklikleri, h  ≥ 3 h  ≥ 4 ve h  ≥ 6 e¸sitsizliklerini sa˘ glayan üçgenler
içinde alanı en küçük olan üçgenin alanı kaçtır?
Çözüm :  ≥   oldu˘ gundan,
1 1 1
 =   ≥     ≥ · 4 · 6=12
2 2 2
sa˘ glanacaktır. ¸Simdi, öyle üçgen kuralım ki,   ≥ 3  ≥ 4  ≥ 6 sa˘ glansın ve
 =12 olsun. Dik kenarları 4 ve 6 olan üçgenin alanı 12 olup,
2 24 24 12
  = = √ = √ = √  3
 4 +6 2 2 13 13
2
sa˘ glanır.

r
√ 1
13. [1, ∞) aralı˘ gından alınmı¸skaç tane x için x +1 −1 > 1− e¸sitsizli˘ gi
x
sa˘ glanmaz?
Çözüm :  ≥ 1 için her iki yanın karesini alırsak,
√ 1
 +1 − 2  +1+1  1 −

√
2
 − 2  +1+( +1)  0
√
¡ ¢ 2
 −  +1  0
√
olur. Son e¸sitsizlik, yalnız −  +1 = 0 denklemini sa˘ glayan ’ler için geçersizdir.
Bu denklemden  −  − 1= 0 elde edilir ki,  ≥ 1 ko¸sulunu sa˘ glayan tek  de˘ geri
2
√
 =(1 + 5)2 bulunur.