Page 270 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 269

√ √
20. 7x − 8+ 3 9 − 7x =1 denkleminin reel çözümlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm : 7 − 8=   ( ≥ 0) ve 9 − 7 =  diyelim. O halde, a¸sa˘ gıdaki denklem
3
2
sistemini elde ederiz:
¾
 +  =1
3
2
 +  =1
Bu denklem sisteminde,  =1 −  de˘ gerini ikinci denklemde yazarsak,
2 3
(1 − ) +  − 1=0
2
3
1 − 2 +  +  − 1=0
¡ 2 ¢
  +  − 2 =0
 ( +2) ( − 1) = 0
denkleminden  1 = −2 2 =0 3 =1 bulunur. Bunları, 9−7 =  denkleminden
3
elde edilen
1 ¡ 3 ¢
 = 9 − 
7
e¸sitli˘ ginde yerine yazarsak,
1 17 9 8
 1 = (9 + 8) =  2 =  3 =
7 7 7 7
elde edilir. Böylece,
34
 1 +  2 +  3 =
7
bulunur.