Page 262 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 261

Buna göre,
√
2
 +  +4 ≤ 10
e¸sitsizli˘ ginden sırasıyla,
p
 +4 ≤ 10 − 
2
2
2
 +4 ≤  + 100 − 20
 +5 ≤ 25
e¸sitsizli˘ gi elde edilir. Ayrıca,  pozitif tamsayı oldu˘ gundan,
1 ≤  ≤ 5(5 − )
olmalıdır. O halde,  yerine sırasıyla 1 2 3 4 de˘ gerleri yazılırsa,  için sırasıyla,
1 ≤  ≤ 20 1 ≤  ≤ 15 1 ≤  ≤ 10 1 ≤  ≤ 5
kısıtlamalarını elde ederiz. Böylece, ( ) ikilileri sayısı 20+15+10+5 = 50 olarak
bulunur.

D
4. ¸Sekilde, 6 satır ve 4 sütunu olan tablonun sol alt kö¸sesinden
(A noktasından) sa˘ güst kö¸sesine (D noktasına), çizgiler üze­
rinde sa˘ ga veya yukarıya hareket ederek gidilecektir. B ve C
C
noktalarının en az birinden geçmek ko¸suluyla, kaç farklı yol
B
izlenebilir?

A
D Çözüm : Sa˘ ga ve yukarıya do˘ gru haraketleri, sırasıyla, 0 ve 1
1
ile gösterirsek, gidilen her yol 0’lar ve 1’lerin olu¸sturdu˘ gu bir
1 dizilim ¸seklinde gösterilebilir. Örne˘ gin, yandaki yola uygun dizilim
0
0

1
(0 1 1 0 1 1 0 0 1 1) ¸seklindedir. O halde, yolları saymak yeri­
1
0
ne, uygun dizilimleri sayaca˘ gız ki, bu da tekrarlı permütasyon for­
1
1
0 mülüyle sayılıyor: ( + )! ( 0’ların ve  da 1’lerin sayısıdır.).
A ! · !
¸ Simdi, problemde istenen sayıyı bulmak için, ’den geçen ve
’den geçen yollar sayısının toplamından  ve ’nin her ikisinden de geçen yollar
sayısını çıkaraca˘ gız. Buna göre,
4! 6! 6! 4! 4! 2! 4!
· + · − · ·
2! · 2! 2! · 4! 3! · 3! 1! · 3! 2! · 2! 1! · 1! 1! · 3!
ifadesi hesaplanırsa istenen cevap,
6 · 15 + 20 · 4 − 6 · 2 · 4= 90 + 80 − 48 = 122
olarak bulunur.