Page 261 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. A = {−1, −2, −3, ..., −97, −98} kümesinin, bo¸s olmayan her alt kümesi
için, bu alt kümenin elemanlarının çarpımını hesaplayalım. Ortaya çıkan tüm
çarpımların toplamı kaçtır?
Çözüm :  1 = −1 2 = −2 3 = −3   98 = −98 olmak üzere,
(1 +  1 )(1 +  2 )(1 +  3 ) ··· (1 +  98 )
çarpımı bize, istenen toplamın 1 fazlasını verir. Buna göre,
(1 +  1 )(1 +  2 ) ·· · (1 +  98 ) − 1
ifadesinde  1 = −1 2 = −2   98 = −98 yazılırsa, cevap −1 bulunur.

C
2. ¸ Sekildeki ABC dik üçgeninde
◦
m(ACB)=90  m(BAC)= 30 ◦ ve α
b
b
m(ECD)= m(EBA) dir. E
b
b
CD ⊥ BE ve |AC| =9 birim ise D
|AE| uzunlu˘ gu kaç birimdir? A 30 o α B
√ √ √
Çözüm : || =2 ||  3=6 3 ve || = || 2= 3 3 oldu˘ gu kolayca
bulunabilir. ¸Simdi, ()=  denirse, problemin ko¸sulundan ()= 
b
b
olur. O halde, ()= 90 −  ve dolayısıyla, ()=  bulunur. Demek
◦
b
b
ki,
60 = ()=  + 
◦
b
e¸sitli˘ ginden  =30 olur. O halde,  ve  dik üçgenleri benzer olur. Benz­
◦
erlik oranı yazılırsa,
2
|| || || 27
= ⇒ || = = =3
|| || || 9
olaca˘ gından, || = || − || =9 − 3=6 bulunur.
2
3. b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere, kaç (b, c) ikilisi için x −bx − c =0
denkleminin kökleri 5’ten küçüktür?
Çözüm :  −  −  =0 denkleminin kökleri,
2
√ √
2
2
 −  +4  +  +4
 1 = ve  2 =
2 2
ve  1  2 oldu˘ gundan,  2 ≤ 5 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan ( ) ikililerini bulmalıyız.