Page 264 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 263

7. ABC dar açılı üçgeninde C =45 ’dir. A’dan BC’ye indirilmi¸sdikmenin
◦
b
aya˘ gı E ve B den AC’ye indirilmi¸s dikmenin aya˘ gı da D olsun. E˘ ger |CE| =4
ve |EB| =3 birim ise, |DE| uzunlu˘ gu kaç birimdir?
Çözüm : ’nin orta noktası  olsun. Üçgen dar açılı C
ve ()= 45 oldu˘ gundan, 45
◦
b
45 ()  90 ◦
◦
b
olacaktır. Demek ki,  noktası  ile  arasındadır.  M
dik üçgeninde ()= 45 oldu˘ gundan,  ⊥  ve E
◦
b
D
|| || + || 7
|| = || = || = = = A
2 2 2 B
olur. Di˘ ger yandan,
1 7 1
|| = || − || = || − || = − 3=
2 2 2
’dir. O halde,  dik üçgeninde:
r r
q
2 2 7 2 1 2 50 5
|| = || + || = ( ) +( ) = = √
2 2 4 2
elde edilir.
n (n +1)
8. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, a = biçimindeki sayıya bir
2
üçgensel sayı denir. Buna göre, a − b =90 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (a, b)
üçgensel sayı ikilisi vardır?
 ( +1)  ( +1)
Çözüm :  = ve  =  (  ∈ N) e¸sitliklerinden sırasıyla,
2 2
1 ¡ 2 2 ¢
90 =  −  =  +  −  −  
2
1
90 = ( − )( +  +1)
2
1 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5=( − )( +  +1)
olur.

 −  ve  +  +1
sayılarının biri çift oldu˘ gunda, di˘ geri tek olaca˘ gından, küçük çarpan olan − sayısı
1 3 5 9 15 ve 4 de˘ gerlerini alabilir.
 −  =1 olursa,  +  + 1 = 180;
 −  =4 olursa,  +  +1 = 45 v.b.
Buradan  ve  dolayısıyla, ( ) ikilileri bulunur. Yanıt 6 olur.