Page 265 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

264 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. ABC üçgeninin kenar uzunlukları tamsayılar olup, |AC| =117 birimdir.
m(BAC) açısının açıortayının BC kenarı ile kesi¸sim noktası D olsun. E˘ ger
b
|AB| = |DC| ise, üçgenin AB kenarının uzunlu˘ gunun rakamları toplamı kaçtır?
A
Çözüm : || =  ve || = || =  olsun. ..
Açıortay teoreminden: m 117
2
2
 = 117 ·  =3 · 13 · 
B C
e¸sitli˘ gi vardır. Buradan,  =13 ·   ( ∈ N) olur. k D m
2
 =1 ise,  =13 =3 · 13 = 39 ve buradan
|| + || = 39+(13+39)  117 = ||
oluyor ki, bu da üçgen e¸sitsizli˘ gi ile çeli¸siyor.  ≥ 3 ise,  ≥ 117 oluyor ve

|| + || =  + 117 ≤ ||
e¸sitsizli˘ gi üçgen e¸sitsizli˘ gi ile çeli¸siyor. Nihayet,  =2 için
 =4 · 13 = 52 =3 · 2 · 13 = 78
ve dolayısıyla,
|| =  =78 || =  +  = 52 + 78 = 130 || = 117
olur ki, bu sayılar bir üçgenin kenar uzunluklarıdır. Yanıt 15 olur.

10. f : Z → Z fonksiyonu her x, y ∈ Z için
f ( (x) +y) −f (y +7) = x
e¸sitli˘ gini ve f (2) =5 ko¸sulunu sa˘ glasın. Bu durumda, f (11) kaçtır?
Çözüm :  =1 ve  =0 için
 ( ()+1) −  (8) =  ve  ( ()) −  (7) = 
elde ederiz. Taraf tarafa çıkarırsak,
 ( ()+1) −  ( ()) =  (8) −  (7)
olur.  ( ()) =  +  (7) e¸sitli˘ ginden,  : Z → Z fonksiyonunun örten oldu˘ gu
görülüyor. ¸Simdi,  ()=  dersek, her  ∈ Z için

 ( +1) −  ()=  (8) −  (7)
olur. Demek ki,   ∈ Z olmak üzere,  ()=  +  formundadır. Bunu, esas
denklemde yerine koyarsak, her   ∈ Z için
 ( +  + )+  − ( ( +7)+ )= 
¡ 2 ¢
e¸sitli˘ ginden  − 1  +  ( − 7) = 0 olur. Bu denklemden de,  = ±1 ve  =7
bulunur. Yani, denklemi sa˘ glayan iki fonksiyon var:  ()= +7 ve  ()= −+7.
 (2) = 5 ko¸sulundan,  ()= − +7 oldu˘ gu görülür. O halde,  (11) = −4 olur.