Page 267 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

266 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

B
14. ¸ Sekilde, A, B, C, A ,B ve C 1 nokta­
1 1 32 64
ları birçemberüzerindeolup, M noktası AA 1  C
BB 1  CC 1 do˘ gru parçalarının kesi¸sim nok­ 16
tasıdır. E˘ ger, P
m(CBB 1 )=64 , 32
◦
b
m(ACC 1 )=16 ve A M A 1
◦
b
m(ABB 1 )= m(CAA 1 )=32 ise,
◦
b
b
C 1
m(APM) açısı kaç derecedir?
b
B 1
Çözüm : Aynı yayı gören açılar olarak,
( 1 )= ( 1 )= 32 ◦
b
b
’dir. Buradan, ( 1  1 )= 16 olur. Benzer ¸sekilde,
◦
b
( 1 )= ( 1 )= 64 ◦
b
b
4
ve buradan, ( 1  1 )= 32 bulunur. Yani,  1 ve  1 do˘ gruları  1 üç­
◦
b
geninin açıortaylarıdır. O halde,  1  do˘ grusu da  1  açısının açıortayıdır ve
c
4
dolayısıyla,  1 üçgeninde,
1 1
( 1 )= ( 1 )= (180 − (64 +32 )) = 42 ◦
◦
◦
◦
c
c
2 2
bulunur. Buradan,
◦
◦
()= ( 1 )= 32 +42 =74 ◦
b
b
elde edilir.
1
15. x> 0 ve y> 0 olmak üzere, 9x +64y+ ifadesinin alabilece˘ gi en
2
x y
küçük de˘ ger kaçtır?
1 9 9 1
Çözüm : 9 +64 + =  +  +64 + ¸ seklinde yazalım. ¸Simdi,
2
2
  2 2  
"aritmetik­geometrik ortalama" e¸sitsizli˘ gini uygularsak,
r
9 9 1 4 9 2 √
4
4
4
 +  +64 + ≥ 4 · · 64 = 4 · 3 · 2 =24
2
2 2   2 2
elde edilir. E¸sitlik durumu,
9 1
 =64 =
2
2  
e¸sitliklerini sa˘ glayan  ve  için elde edilir.
4 3
(Sonuncu e¸sitlik çözülürse,  =  = bulunur.)
3 32