Page 269 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 269
268 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
2
3
4
18. 4x −20x +17x +22x − 2= 0 denkleminin köklerinden ikisinin çarpımı
−2 ise, bu iki kökün kareleri toplamı kaçtır?
2
Çözüm : Kökler 1 2 3 4 olsun. 1 2 = −2 oldu˘ gunu varsayarak, + 2 2
1
sayısını bulmalıyız. Vieta formüllerine göre,
1 + 2 + 3 + 4 =5 ⎫
⎪
⎪
11 ⎬
1 2 3 + 1 2 4 + 1 3 4 + 2 3 4 = − (∗)
2
1 ⎪
⎪
1 2 3 4 = − ⎭
2
1 ˙
biçimindedir. Sonuncu e¸sitlikte 1 2 = −2 yazarsak, 3 4 = bulunur. Ikinci
4
e¸sitli˘ gi
11
1 2 ( 3 + 4 )+ 3 4 ( 1 + 2 )= −
2
¸ seklinde yazıp, 1 2 ve 3 4 ’ün de˘ gerlerini yerlerine yazarsak,
1 11
( 1 + 2 ) − 2( 3 + 4 )= −
4 2
e¸sitli˘ ginden, ( 1 + 2 ) − 8( 3 + 4 )= −22 elde edilir. Son denklemi, (∗)’daki ilk
denklemle birle¸stirirsek,
( 1 + 2 )+ ( 3 + 4 )= 5 ve ( 1 + 2 ) − 8( 3 + 4 )= −22
olur. Buradan,
9( 1 + 2 )= 40 − 22 = 18
1 + 2 =2
2
+2 1 2 + 2 2 =4
1
2
+ 2 2 =4 − 2 1 2 =4 + 4 = 8
1
bulunur.
19. 1’den 9’a kadar rakamların her birinin tam bir kez bulundu˘ gu tüm dokuz
basamaklı sayıları dü¸sünelim. 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarının artan sırada bulunup
da 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının artan sırada bulunmadı˘ gı sayılara iyi sayılar
diyelim. Örne˘ gin, 817234956 ve 971238456 sayıları birer iyi sayılardır. Kaç tane
iyi sayı vardır?
Çözüm : 1 2 3 4 5 6 rakamlarını artan sırada dizelim. 7 rakamını,
1 2 3 4 5 6
tablosundaki bo¸sluklara (kutulara), son kutu hariç, 6 farklı ¸sekilde yerle¸stirebiliriz.
7 yerle¸stikten sonra, 7’nin sa˘ gında ve solunda olu¸san iki bo¸sluk gözönüne alınırsa,
toplam 8 bo¸sluk olu¸sur ki, bunlardan herhangi birine 8’i yerle¸stiririz. Yine ortaya
çıkan 9 bo¸sluktan herhangi birine 9’u yerle¸stiririz. Sonuçta, tüm farklı seçenekler
sayısı 689 = 432 bulunur.
