Page 268 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2009 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 267

16. n +1001n ifadesini tam kare yapan en büyük n pozitif tam sayısının rakam­
2
ları toplamı kaçtır?
2
+
2
Çözüm :  + 1001 ·  =  e¸sitli˘ gine göre,   oldu˘ gu açıktır.  ∈ Z olmak
üzere,  =  +  ¸seklindedir. Denklemde yerine yazarsak,
2
2
2
 + 1001 ·  =( + ) =  +2 +  2
 (1001 − 2)=  2
e¸sitli˘ ginden
 2
 =
1001 − 2
elde edilir. Burada   0 oldu˘ gundan, 1001 − 2 0 olmalıdır. Buna göre,
2
1001
 yani,  ≤ 500
2
olmalıdır. Görüldü˘ gü gibi,  en büyük de˘ gerini  = 500 için alır.  = 500 koyarsak
2
 = 500 = 250000 bulunur.
√ √ √ √
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 ·3 +8·1 −1 3 ·5 +8·2 −1 5 ·7 +8·3 −1 23 ·25 +8·12 −1
17. A= + + +··· +
1·3 3·5 5·7 23·25
toplamı kaçtır?
Çözüm :  =1 2  12 için
q q
2 2 2 ¡ 2 ¢ 2 2
(2 − 1) · (2 +1) +8 −1 4 −1 +8 −1
=
(2 − 1) (2 +1) (2 − 1) (2 +1)
2
4 2 4 −1+1
= =
(2 − 1) (2 +1) (2 − 1) (2 +1)
1
=1+
(2 − 1) (2 +1)
∙ ¸
1 1 1
=1+ −
2 2 − 1 2 +1
e¸sitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
∙ ¸
1 1 1 1 1 1 1
 =12 + − + − + ·· · + −
2 1 3 3 5 23 25
µ ¶
1 1
=12 + 1 −
2 25
12
=12 +
25
=12 48
elde edilir.