Page 272 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2010 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 271

5. Ahsen, hesap makinesinde yazdı˘ gı bir sayı, 2 ’den küçük olana kadar √
(karekök) tu¸suna basıyor. Ahsen, bu i¸slemi, 1 ile 2010 ( 1 ve 2010 dahil ) arasın­
daki sayıların kaçında tu¸sa çift sayıda basarak yapar?
Çözüm : [2  2 ) aralı˘ gındaki sayılar için √ tu¸suna iki kez basılır.
2
4
[2  2 ) aralı˘ gındaki sayılar için √ tu¸suna dört kez basılır.
8
16
8
2  2010  2 16 oldu˘ gu gözönüne alınırsa, istenen sayı,
¡ 4 2 ¢ ¡ 8 ¢
2 − 2 + 2010 − 2 +1 = 12 + 1755 = 1767
bulunur.
6. Birbirinden farklı olması gerekmeyen ve toplamları 1350 olan 23 pozitiftam
sayının EKOK’unun alabilece˘ gi en küçük de˘ gerin rakamları toplamı nedir?
Çözüm :  1 +  2 + ··· +  23 = 1350 = 23 · 58 + 16 oldu˘ gundan en az bir  için
  ≥ 59 olmalıdır. Dolayısıyla, sayıların EKOK’una  denilirse,  ≥ 59 olmalıdır.
59 asal oldu˘ gu için   ’ler 59 veya 1’den olu¸smalıdır.
1350 =  · 59 + 1 ·   +  =23
sistemini sa˘ glayan   ∈  bulmalıyız. Böyle bir  ve  tamsayılarının bulunmadı˘ gı
açıktır. O halde,  ≥ 60 olmalıdır.  =60 için 1350 = 22 · 60 + 1 · 30 yazılabile­
ce˘ ginden,  =60’tır.

A
7. ¸ Sekilde |AB|=13, |DC|=17, |AE|=3 |ED| ve
|BF|=3 |FC| oldu˘ guna göre, |EF | uzunlu˘ gunun alabile­ B
ce˘ gi tamsayı de˘ gerlerinin sayısı kaçtır?
E
F
D C
A
Çözüm : Önce [] kö¸segenini, daha sonra da
[]’ye paralel []’yi çizelim. AEG üçgeni
ADC’ye benzer oldu˘ gundan
B
E G || 3 ||
= =
F || 1 ||
D C
olur. G ile F’yi birle¸stirirsek ||  || =3 ol­
masından dolayı []’nin []’ye paralel oldu˘ gu anla¸sılır. Benzerlikten dolayı
51 13
|| = ve || =
4 4
bulunur. EGF üçgeninde, üçgen e¸sitsizli˘ ginden

| − |  ||  | + |
38
olup  ||  16 bulunur. Buradan ||, 10,11,12,13,14,15 olabilir. []’nin
4
[]’ye paralel olması durumunda da || =16 olaca˘ gından, || toplam 7 farklı
tamsayı de˘ geri alabilir.