Page 273 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

272 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

8. p 6=0 olmak üzere, a, b ve c sayıları x +px +1 = 0 denkleminin kökleri
3
a − 2 b − 2 c − 2
olsunlar. A = + + ise, A’nın p cinsinden ifadesi nedir?
a +1 b +1 c +1
 − 2  − 2  − 2
Çözüm :  = + + ifadesi yeniden düzenlenirse,
 +1  +1  +1
µ ¶
 +1 − 3  +1 − 3  +1 − 3 1 1 1
 = + + =3 − 3 + + (1)
 +1  +1  +1  +1  +1  +1
3
olur. ¸Simdi    sayıları ()=  +  +1 polinomunun kökleri ise  +1 +1
 +1 sayıları
3
3
2
( − 1) = ( − 1) + ( − 1) + 1 =  − 3 +( +3) − 
1 1 1
polinomunun kökleridir. O halde,   sayıları da
 +1  +1  +1
2
3
()= − +(3+ ) − 3 +1
polinomunun kökleri olacaktır. Vieta formüllerinden
1 1 1 3+ 
+ + =
 +1  +1  +1 
elde edilir. Bu ifade (1)’de yerine yazılırsa,  = −9 elde edilir.

9.  = 10 + 11 + 12 + ··· + 100 ise,
2
2
4
4
2
2
4
10 +10 +1 11 +11 +1 12 +12 +1 100 +100 +1
4
2S+ 1 toplamı kaçtır?
10101
100 
P
Çözüm : Öncelikle,  = 4 2 toplamını hesaplayalım.
=10  +  +1
  
= =
4
2
2
2
4
2
2
 +  +1  +  +1 −  +  2 ( +1) −  2
e¸sitli˘ ginden,
µ ¶
 1 1 1
= −
2
2
4
 +  +1 2  −  +1  +  +1
2
µ ¶
1 1 1
= −
2
2
2 ( − 1) +( − 1) + 1  +  +1
1
yazılabilir.   = denilirse, istenen toplam
2
 +  +1
100 100
X  1 X
 = = ( −1 −   )
2
4
 +  +1 2
=10 =10
1 55 1 1
e¸sitli˘ ginden  = ( 9 −  100 )= olur. O halde, 2 + = bulunur.
2 10101 10101 91