Page 10 - 8_sf_Dahimatik
P. 10

˙
                                            ˙
                                       ˙
                                   DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım                    9
                                     
           F Aralarında Asal Sayılar F                          Bir sayı sadece üç sayıda (farklı veya e¸sit)
                                                        asal sayının çarpımı biçiminde gösterilebiliyorsa,
          1’den ba¸ska ortak böleni olmayan sayılara aralarında  bu sayıya "¸seker sayı" diyelim. Örne˘ gin, 8 = 2 2 2;
          asal sayılar denir.                           12 = 2 2 3 ¸seker sayılardır ama 9 = 3 3 ve 10 = 2 5
          Örne˘ gin, 3 ile 8 aralarında asaldır.        sayıları ¸seker sayı de˘ gildir. Buna göre, 100’den
                            2; 5; 15                    büyük en küçük ¸seker sayı ile, 100’den küçük en
                                                        büyük ¸seker sayının toplamı kaçtır?
          sayılarının üçü aralarında asaldır. Yani, üçünü birden
          bölen sayı yoktur.
                                                                  102 = 2 3 17 ve 99 = 3 3 11 oldu˘ gundan,
                                                        yanıt 99 + 102 = 201’dir.





                 2,3,4,...,50 sayılarından herhangi ikisi
          aralarında asal olacak ¸sekilde en fazla kaç sayı
          seçebiliriz?
                                                                Sadece iki (farklı veya e¸sit) asal sayının
                                                        çarpımı biçiminde gösterilebilen her sayıya "iyi
                   50’den küçük asal sayıları seçelim.
                                                        sayı" diyelim. Örne˘ gin, 4 = 2 2; 6 = 2 3 iyi
             2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47  sayılardır ama 5 ve 8 iyi sayı de˘ gildir. Buna göre, en
          Bunların sayısı 15’tir. Bu sayılar haricinde ba¸ska  fazla kaç ardı¸sık iyi sayı vardır? (UAMO- 2002)
          bir sayı seçersek, bu asal sayıların birinin bir katı
          olaca˘ gından, yeni seçilen sayı ile bu asal sayı aralarında  4’ten büyük olan dört ardı¸sık sayıdan
          asal olmayacaktır. O halde, bu 15 sayıdan ba¸ska sayı  biri mutlaka 4’e bölünecek ve iyi sayı olmayacaktır.
          seçemeyiz.                                    Örne˘ gin, 12 = 2 2 3 gibi. Yani, en fazla ardı¸sık 3 iyi
                                                        sayı olabilir. 3 tane ardı¸sık iyi sayı bulmaya çalı¸salım.
                                                        Bu ardı¸sık sayılar asal olmayacak ¸sekilde seçmeliyiz.
                                                        Bir kaç denemeden sonra 33, 34 ve 35 sayılarının iyi
                                                        sayı oldu˘ gunu görebiliriz. Gerçekten, 33 = 3 11;
                                                    
           F n Ardı¸sık sayıdan en az biri n ile bölünür F  34 = 2 17; 35 = 5 7’dir. Yani, en fazla 3 ardı¸sık sayı

                                                        vardır.
          n tane ardı¸sık sayıdan biri, mutlaka n sayısına tam
          bölünür. Örne˘ gin, 5 tane ardı¸sık
                         17; 18; 19; 20; 21
          sayılarından 20, 5’e tam bölünür


                                                                                
                                                          F Tamkare - Tamküp F

                                                         2
                                                                                   3
                                                        a = a a sayısına a’nın karesi, a = a a a sayısına da
                                                        a’nın küpü denir.
                                                        Bir do˘ gal sayının karesi ¸seklinde ifade edilebilen sayıya
                                                        tamkare sayı denir. Örne˘ gin, 25 bir tamkaredir, çünkü
                                                         2
                                                        5 ’dir.
                 Hiçbiri 7 asal sayısına bölünmeyen en  Ardı¸sık tamkareler sadece 0 ve 1’dir.
          fazla kaç ardı¸sık sayı vardır?               Bir do˘ gal sayının küpü ¸seklinde ifade edilebilen sayıya
                                                        da tamküp sayı denir.  Örne˘ gin, 27 bir tamküptür,
                                                               3
                    7 ardı¸sık sayıdan biri daima 7’ye  çünkü 3 ’dür.
          bölünece˘ ginden, en fazla 6 tane vardır. Örne˘ gin,
          8,9,10,11,12,13 sayılarının hiçbiri 7’ye bölünmez.
   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15