Page 10 - 8_sf_Dahimatik
P. 10
˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 9
F Aralarında Asal Sayılar F Bir sayı sadece üç sayıda (farklı veya e¸sit)
asal sayının çarpımı biçiminde gösterilebiliyorsa,
1’den ba¸ska ortak böleni olmayan sayılara aralarında bu sayıya "¸seker sayı" diyelim. Örne˘ gin, 8 = 2 2 2;
asal sayılar denir. 12 = 2 2 3 ¸seker sayılardır ama 9 = 3 3 ve 10 = 2 5
Örne˘ gin, 3 ile 8 aralarında asaldır. sayıları ¸seker sayı de˘ gildir. Buna göre, 100’den
2; 5; 15 büyük en küçük ¸seker sayı ile, 100’den küçük en
büyük ¸seker sayının toplamı kaçtır?
sayılarının üçü aralarında asaldır. Yani, üçünü birden
bölen sayı yoktur.
102 = 2 3 17 ve 99 = 3 3 11 oldu˘ gundan,
yanıt 99 + 102 = 201’dir.
2,3,4,...,50 sayılarından herhangi ikisi
aralarında asal olacak ¸sekilde en fazla kaç sayı
seçebiliriz?
Sadece iki (farklı veya e¸sit) asal sayının
çarpımı biçiminde gösterilebilen her sayıya "iyi
50’den küçük asal sayıları seçelim.
sayı" diyelim. Örne˘ gin, 4 = 2 2; 6 = 2 3 iyi
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47 sayılardır ama 5 ve 8 iyi sayı de˘ gildir. Buna göre, en
Bunların sayısı 15’tir. Bu sayılar haricinde ba¸ska fazla kaç ardı¸sık iyi sayı vardır? (UAMO- 2002)
bir sayı seçersek, bu asal sayıların birinin bir katı
olaca˘ gından, yeni seçilen sayı ile bu asal sayı aralarında 4’ten büyük olan dört ardı¸sık sayıdan
asal olmayacaktır. O halde, bu 15 sayıdan ba¸ska sayı biri mutlaka 4’e bölünecek ve iyi sayı olmayacaktır.
seçemeyiz. Örne˘ gin, 12 = 2 2 3 gibi. Yani, en fazla ardı¸sık 3 iyi
sayı olabilir. 3 tane ardı¸sık iyi sayı bulmaya çalı¸salım.
Bu ardı¸sık sayılar asal olmayacak ¸sekilde seçmeliyiz.
Bir kaç denemeden sonra 33, 34 ve 35 sayılarının iyi
sayı oldu˘ gunu görebiliriz. Gerçekten, 33 = 3 11;
F n Ardı¸sık sayıdan en az biri n ile bölünür F 34 = 2 17; 35 = 5 7’dir. Yani, en fazla 3 ardı¸sık sayı
vardır.
n tane ardı¸sık sayıdan biri, mutlaka n sayısına tam
bölünür. Örne˘ gin, 5 tane ardı¸sık
17; 18; 19; 20; 21
sayılarından 20, 5’e tam bölünür
F Tamkare - Tamküp F
2
3
a = a a sayısına a’nın karesi, a = a a a sayısına da
a’nın küpü denir.
Bir do˘ gal sayının karesi ¸seklinde ifade edilebilen sayıya
tamkare sayı denir. Örne˘ gin, 25 bir tamkaredir, çünkü
2
5 ’dir.
Hiçbiri 7 asal sayısına bölünmeyen en Ardı¸sık tamkareler sadece 0 ve 1’dir.
fazla kaç ardı¸sık sayı vardır? Bir do˘ gal sayının küpü ¸seklinde ifade edilebilen sayıya
da tamküp sayı denir. Örne˘ gin, 27 bir tamküptür,
3
7 ardı¸sık sayıdan biri daima 7’ye çünkü 3 ’dür.
bölünece˘ ginden, en fazla 6 tane vardır. Örne˘ gin,
8,9,10,11,12,13 sayılarının hiçbiri 7’ye bölünmez.