Page 11 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
10 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
2012’den küçük kaç tamküp pozitif sayı Karesi 2 ile 2000 sayıları arasında olan
vardır? sayılardan, herhangi ikisi aralarında asal olacak
¸ sekilde en fazla kaç sayı seçilebilir?
3
3
3
3
1 ; 2 ; 3 ; :::; 12 = 1728 sayıları 2012’den
3
küçük tamküp sayılardır. 13 = 2197 oldu˘ gundan,
2012’den büyüktür. O halde, 12 tamküp sayı vardır.

Yanıt : 14. (2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41 ve
43):

2 6 5 12 n çarpımının bir tamküp olması
için, n sayısı en küçük kaç olmalıdır? Bu durumda,

verilen sayı hangi sayının küpü olur?
F Bir Sayının Üssü F

Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım ve
n bir do˘ gal sayı olmak üzere,
çarpanları üçerli gruplayalım n
a a a a = a
2 2 3 5 2 2 3 n | {z }
n tane a
= (2 2 2) (3 3) (2) (5) n
¸ seklinde tanımlanır. Buradaki n sayısına a’nın üssü
Bu yazılı¸sın bir tamküp olması için, en az bir tane 3 veya kuvveti denir.
ve iki¸ser tane 5’e ihtiyaç var. Sonradan yazdıklarımızı Örne˘ gin,
koyu yazarsak, 6
2 2 2 2 2 2 = 2
(2 2 2) (3 3 3) (2 2 2) (5 5 5)
’dır.
olacaktır. Böylece, n sayısı en küçük 3 2 2 5 5 = 300
olur. n = 300 oldu˘ gunda, elde edilen sayı, her üçerli F Aynı sayının farklı kuvvetlerinin çarpımında
gruptan birini alınarak elde edilen
üsler toplanır.
2 3 2 5 = 60 Yani, m; n 2 N için,
sayısının küpü olacaktır. a a m = a n+m
n
¸ seklindedir.
Örne˘ gin,
3
5
2 2 = 2 3+5 = 2 8
a) Karesi 2 ile 200 sayıları arasında olan
kaç pozitif tamsayı vardır? ’dir.
b) Buldu˘ gunuz bu sayılardan herhangi ikisi F Aynı sayının farklı kuvvetlerinin bölümünde
aralarında asal olacak ¸sekilde en fazla kaç sayı
üsler çıkarılır.
seçilebilir?
Yani, m; n 2 N için,
2
a) 14 = 196 oldu˘ gundan, istenen sayılar a n = a n m
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14’tür ve bunların a m
sayısı da 13’tür. ¸ seklindedir.
b) Seçilecek sayıların asal çarpanları 14’ten küçük Örne˘ gin,
olacaktır. Bu ko¸sulu sa˘ glayan asal sayılar 2 6 6 5 1
2; 3; 5; 7; 11; 13 5 = 2 = 2
2
olmak üzere 6 tanedir. E˘ ger 7 sayı seçilirse; iki sayının
’dir.
asal çarpanları arasında bu asal sayılardan biri ortak
olacaktır ki bu da aralarında asal olma ko¸sulunu
bozacaktır. O halde en fazla 6 sayı seçilebilir.