Page 14 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 13
1; 2; 3; :::; 100 sayılarının herbiri bir 4 rakamlı kaç sayı vardır?
ka˘ gıda yazılıp kutulara konulacaktır. Herhangi bir
kutuda, biri di˘ gerinin katı olan sayı yoksa, en az 4 rakamlı en küçük sayı 1000, en büyük
kaç kutu olmalıdır? sayı 9999 oldu˘ gundan,
9999 1000 + 1 = 90 00
4 rakamlı sayı vardır.
1 yazan sayı bir kutuda tek ba¸sına olmalıdır.
2 ve 3’ü aynı kutuya koyabiliriz. Ba¸ska sayı koymamız
mümkün olmaz.
4,5,6,7’yi yine aynı kutuya koyabiliriz.
Benzer dü¸sünceyle, kutulardaki ilk sayılar 1,2,4,8,16,...
¸ seklinde olacaktır. Yani,
1 ; 2,3 ; 4,5,6,7 ; 8,9,...,15 ; 3 basamaklı tüm sayılar yanyana yazılırsa
16,...,31 ; 32,...,63 ; 64,...,100 kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
¸ seklinde kutulara da˘ gıtırsak, kutulardaki hiç bir sayı
bir di˘ gerinin katı olmamı¸s olur. O halde en az 7 kutu
olmalıdır.

Yanıt : 3 (999 100 + 1) = 2700:

Her birinde farklı bir sayı olmak üzere, 1; 11; 21; 31; :::; 101 sayıları yanyana
yazılırsa, elde edilen sayı kaç basamaklı olur?
üstlerinde 1’den 2007’ye kadar olan tamsayıların yazılı
bulundu˘ gu 2007 top, k kutuya da˘ gıtılıyor. Herhangi
1 basamaklı ve 3 basamaklı birer sayı
bir n tamsayısı için, üstünde n yazılı bir topla n’nin
vardır. Geri kalan sayılar iki basamaklı oldu˘ gundan,
bir tam katının yazılı bulundu˘ gu bir top aynı kutuya
˙
kaç tane iki basamaklı sayı oldu˘ gunu bulmalıyız. Ilk
konmuyorsa, k en az kaç olmalıdır? (U ˙ IMO - 2007)
iki basamaklı sayı 11, sonuncu ise 91 oldu˘ gundan,
91 11
+ 1 = 9
10
iki basamaklı sayı vardır. (Sayılar 10’ar 10’ar arttı˘ gı
için son ve ilk sayının farkını 10’a böldük.) Buna
göre, sayıların yanyana yazılmasıyla elde edilen sayı
Yanıt : 11 kutu. ( 1 , 2,3 , 4,5,6,7 ,..., 1024,...,2007 ) 9 2 + 1 + 3 = 22
olacaktır.

F Iki tamsayı arasında kaç sayı vardır? F
˙

n, m’den büyük bir tamsayı olmak üzere, n ile m
arasında 111; 121; 131; :::; 511 sayıları yanyana
(n m) 1 yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir.
tamsayı bulunur. n ve m dahil ise, (n m)+1 tamsayı
olur.
Örne˘ gin,
f11; 12; 13; :::; 47g
kümesindeki eleman sayısı, 47 11 + 1 = 37’dir.
511 111
Yanıt : 3 ( + 1) = 123:
10
100 ile 200 arasında, 200 100 1 = 99 tamsayı vardır.