Page 15 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
14 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Be¸s tane iki basamaklı birbirinden farklı 1’den 1112’ye kadar olan tüm tamsayıları
do˘ gal sayının toplamının alabilece˘ gi kaç farklı bir sırada
de˘ ger vardır? (U ˙ IMO - 2008)
12345678910111213...1111
En küçük, 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60 ¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu sayı
ve en büyük kaç basamaklıdır?
99 + 98 + 97 + 96 + 95 = 485
Basamak sayısına göre kaçar rakam
olabilir. Bu iki de˘ ger arasındaki tüm toplamları kullanıldı˘ gını hesaplayalım.
alabilece˘ ginden, istenen ¸sekilde 1,2,...,9 bir basamaklı sayılarında 9 rakam kullanılır.
485 60 + 1 = 426 10,11,....,99 iki basamaklı sayılarının sayısı
99 10 + 1 = 90
farklı de˘ ger vardır.
oldu˘ gundan
90 2 = 180
rakam kullanılır.
100,101,102,...,999 üç basamaklı sayılarının sayısı
999 100 + 1 = 900
oldu˘ gundan,
Üç tane üç basamaklı birbirinden farklı
do˘ gal sayının toplamının alabilece˘ gi kaç farklı de˘ ger 900 3 = 2700
vardır?
rakam kullanılmı¸stır.
1000,...,1111 dört basamaklı sayılarının sayısı da
1111 1000 + 1 = 112
oldu˘ gundan 112 4 = 448 rakam kullanılır. Böylece,
toplam
9 + 180 + 2700 + 448 = 3337
Yanıt : (999 + 998 + 997) (100 + 101 + 102) + 1 =
2692: rakam kullanılır.

1’den 2013’e kadar olan tüm tamsayıları
˙
Iki basamaklı 4 farklı pozitif tamsayının bir sırada
toplamı 101 oldu˘ guna göre, bu 4 sayıdan en büyük
12345678910111213...2012
olanı kaç farklı de˘ ger alabilir?
¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu sayıda
Önce, en büyük sayının alabilece˘ gi en kaç tane rakam kullanılmı¸stır?
büyük de˘ geri bulalım. Küçük sayılar 10,11,12 alınırsa,
en büyük olan son sayı
101 (10 + 11 + 12) = 68
olacaktır. ¸Simdi de, en büyük sayının alabilece˘ gi en
küçük de˘ geri bulalım. Küçük olan sayılar 23; 25; 26
alınırsa, en büyük olan son sayı,
101 (23 + 25 + 26) = 27
olacaktır. Buna göre, en büyük sayı küçük sayılarda
de˘ gi¸siklik yapılarak, 27 ve 68 dahil olmak üzere, 27 ve Yanıt : (2012 1000 + 1) 4 + 2700 + 180 + 9 = 6941:
68 arasındaki tüm de˘ gerleri alabilir. Bunların sayısı da
68 27 + 1 = 42’dir.