Page 12 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 11
Toplamları 264 olan ve 10’un katı olmayan 10 tane pozitif tamsayının toplamı,
dört pozitif tamsayının çarpımı en çok kaç sıfırla çarpımından büyüktür. Bu sayılardan en fazla kaçı
biter? 1’den büyük olabilir?

Çarpımın en çok 0 ile bitmesi için, 10 = 2 5 1’den farklı pozitif sayıların en çok olması
oldu˘ gundan, toplanan sayıları, mümkün oldu˘ gu kadar için, mümkün oldu˘ gu kadar 2 kullanmalıyız. Daha
5’in ve 2’nin kuvvetlerinin çarpanı olacak ¸sekil- büyük sayıları kullanırsak, çarpım daha büyük olur.
de seçmeliyiz. 264’ün içinde, 5’in en fazla 3’üncü Bunu istemiyoruz. 10 tane pozitif tamsayı için, 4 tane
5
3
2
kuvveti vardır. 264 = 5 + 5 + 2 + x ¸seklinde 2 kullanamayız. Çünkü, bu durumda
seçersek, çarpımda 5 tane sıfır olaca˘ gı açıktır. Buna Çarpım : 2 2 2 2 (1 1 1) = 16;
| {z }
göre, x = 82 olur. Böylece, bu dört sayının çarpımı 6 tane
3
5
2
da, 5 5 2 82 = 8200 000 olur ki, 5 sıfırla biter. Toplam : 2 + 2 + 2 + 2 + (1 + 1 1) = 14
| {z }
¸ Simdi, çarpımları altı sıfırla bitebilir mi diye bakalım. 6 tane
6
6
Çarpımda 5 ve 2 sayılarının olması gerekir. Sayıların olur. Biz tam tersini, yani toplamlarının çarpımından
3
3
ikisinin 5 ve 5 olması durumunda, geriye 14 büyük olmasını istiyoruz. Çarpımları Çrp ile,
5
kalaca˘ gından, 2 çarpanımız olamaz. E˘ ger sayıların toplamları ise Tpl ile gösterelim.
2
3
ikisi 5 ve 5 ise, di˘ ger sayı 5’in tek katı olması O halde, 3 tane 2 ve 7 tane 1 kullanırsak,
gerekir ki, birkaç denemeden sonra bunun da mümkün Çrp : 2 2 2 (1 1 1) = 8;
| {z }
olmadı˘ gı görülebilir. Yani, en fazla 5 sıfır olabilir.
7 tane
(Not : 10’un katı olmama ko¸sulu olmasaydı, 7 sıfırla Tpl: 2 + 2 + 2 + (1 + 1 1) = 13
6
3
2
2
{z
bitebilirdi. Bu durumda sayılar 5 ; 2 5 ; 2 ; 5 alınır.) | 7 tane }
olur ve ko¸sul sa˘ glanır. O halde, en fazla 3’ü, 1’den
büyük olabilir.
Toplamları 407 olan üç pozitif
tamsayının çarpımı en çok kaç sıfırla biter? (U ˙ IMO -
2004) 50 tane pozitif tamsayının toplamı
çarpımından büyüktür. Bu sayılardan en az kaçı
1’dir?

3 5 3 3 5
Yanıt : 6. (407 = 3 5 + 2 = 2 5 + 5 + 2 için, çarpım
6
: 10 olur.)
a) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 2
pozitif tamsayı bulunuz.
b) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 3 pozitif Yanıt : 45.
tamsayı bulunuz.
c) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 4 pozitif
tamsayı bulunuz.

a) 2 +2 = 2 2: (Not : Bu iki sayıdan ba¸ska,
toplamı çarpımına e¸sit iki sayı yoktur.)
b) 1 + 2 + 3 = 1 2 3 (Not : Bu üç sayıdan ba¸ska,
toplamı çarpımına e¸sit üç sayı yoktur.)
c) 1 + 1 + 2 + 4 = 1 1 2 4 (Not : Bu dört sayıdan
ba¸ska, toplamı çarpımına e¸sit dört sayı yoktur.)