Page 154 - og_2_olimpiyat

iii. Geometrik Dizi:

Ardışık terimleri oranı eşit olan dizilere geometrik dizi denir.
a a a a a
(a ) = (a , a , a , ..., a , ...) dizisinde 2 = 3 = 4 = ... n = n+1 = r eşitliği sağlanıyorsa bu dizi
n 1 2 3 n a a a a a
1 2 3 n-1 n
bir geometrik dizidir. r sayısına dizinin ortak oranı (çarpanı) denir.
Aritmetik diziler için yaptığımız keşifler gibi geometrik diziler için de bu önemli temel özellikten yararla-
5. Bölüm
narak diğer özelliklerini keşfedeceğiz.

Örnek
51 Ardışık üç terimi x + 1, 3x - 1, 5x + 1 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ortak çar-
panı kaçtır?

3x - 1 5x + 1
Ardışık terimleri oranı eşit olması gerekir. Bunun için = eşitliğinde içler dışlar çar-
Çözüm x + 1 3x - 1
pımı ile 9x - 6x + 1 = 5x + 6x + 1 den 4x - 12x = 0 olmalıdır. Buna göre 4x(x - 3) = 0 dan
2
2
2
x = 0 ya da x = 3 olur. Ancak x = 0 için 3x - 1 terimi negatif olacağı için dizinin pozitif terimli olduğu
3.3 - 1 5 . 3 + 1
şartı gerçekleşmez. Sonuç olarak x = 3 ve dizinin ortak çarpanı = 2 ya da = 2 dir.
3 + 1 3 . 3 - 1
Örnek
52 İlk terimi 5 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin,
a) 11. terimi kaçtır?
b) Genel terimini bulunuz.

DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
a) Elbette 5 ten başlayıp 2 ile çarpma işlemi yapa yapa 11. terimi bulmaya benzer fakat daha
Çözüm
kestirme bir yol kullanacağız. Sonra da genel bir formül elde edelim.
a = 5 . 2, a = 5 . 2 . 2 = 5 . 2 , a = 5 . 2 . 2 = 5 . 2 ve a = 5 . 2 . 2 = 5 . 2 biçiminde ilerleyen
2
3
4
3
2
2 3 4 5
dizinin terimleri bize şunu fark ettiriyor; her bir yeni terim aslında ilk terim belirli sayıda ortak
çarpanla çarpılarak bulunur. Seslendireyim; ilk terim (5), 2. terimi bulmak için 1 tane, 3. terim
için 2 tane, 4. terim için 3 ve 5. terim için 4 tane ortak çarpanın (2) çarpımı ile oluşuyor. Buna
göre, 11. terim için ilk terimi 10 tane ortak çarpan ile çarpmalıyız. Sonuç olarak, dizinin 11.
10
terimi 5 . 2 = 5.1024 ten 5120 dir.
b) İşte aynı biçimde, ilk terimi ve ortak çarpanı bilinen bir geometrik dizinin her bir terimini (doğal
olarak genel terimi de) bulabiliriz.
a 2 a a 4 a n a n+1
= 3 = = ... = = r
a a a a a
1 2 3 n-1 n
olmak üzere,
4
a = a . r, a = a . r , a = a . r , a = a . r , . . ., a = a . r n - 1 olur.
3
2
2 1 3 1 4 1 5 1 n 1
ilk terimi a , ortak çarpanı r olan (a ) geometrik dizisinin genel terimi a = a . r n - 1 dir.
1 n n 1
Buna göre sorulan geometrik dizinin genel terimi a = 5 . 2 n - 1 dir.
n
154 ALTIN NOKTA