Page 155 - og_2_olimpiyat

Örnek
53 Ortak çarpanı 3 ve beşinci terimi 162 olan bir geometrik dizinin otuz beşinci terimi
kaçtır? 5. Bölüm

I. Yol 5. terim ve ortak çarpan belli olduğuna göre ilk terimi bulabilirsin. a = a . r olduğu için
4
Çözüm 5 1
162 = a . 3 den a = 2 dir. Buna göre, dizinin 35. terimi a = a . r için a = 2 . 3 tür.
34
4
34
1 1 35 1 35
II. Yol Aritmetik bir dizide olduğu gibi geometrik bir dizi için de ortak çarpanı ve iki terimi arasında
eşitlik keşfedebilir miyiz? Araştırmaya başlayalım. a = a . r, a = a . r , a = a . r , a = a . r ,
2
3
4
2 1 3 1 4 1 5 1
. . . , a = a . r n - 1 örneklerinde dizinin kaçıncı terimleri olduğunu gösteren alt indisler arasındaki
n 1
fark kadar ortak çarpan (r) kullanılarak çarpım yapılıyor. Yani 5. terim için 5 - 1 tane ortak çarpan
(r) kullanılırken, n. terim için n - 1 tane ortak çarpan (r) kullanılıyor. İşte bu durumdan hareketle
genelleme yapalım. Mesela a = a . r olduğunu biliyoruz. Burada ilk terim yerine 4. terimi kulla-
9
10 1
nalım. (a . r = a olduğu için) a = a . r yazılabilir. Daha başka örnekler de verebiliriz;
3
6
1 4 10 4
a = a . r = a . r = a . r = a . r eşitliklerinde de görüldüğü üzere geometrik bir dizinin herhangi
6
8
3
10 4 7 2 9
iki terimi arasında kaçıncı terim olduklarını gösteren indisler farkı kadar r çarpanı olduğundan
hareketle a = a . r n - p eşitliği vardır. Bu eşitliği kullanarak
n p
a = a . r için a = 162.3 = 2 . 81 . 3 den a = 2.3 tür.
30
30
34
30
35 5 35 35
Örnek DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
54 13 ile 91 sayıları arasına, bu sayılarla beraber bir geometrik dizi oluşturacak şekilde
yedi terim yerleştiriliyor. Buna göre, bu dizinin 17. terimi kaçtır?
Dizi dokuz terimden oluşup 1. terimi 13, 9. terimi 91 olduğuna göre a = a . r eşitliğinden hare-
8
Çözüm 9 1
ketle 91 = 13 . r ve r = 7 olur. Bu durumda, a = a . r = a . (r ) eşitliğinden a = 13 . 7 olur.
8
2
8 2
8
16
17 1 1 17
Buna göre, dizinin 17. terimi 637 dir.
Örnek
55 4. terimi 64 ve 64. terimi 4 olan dizinin genel terimini bulunuz.
1
Çözüm Önce ortak çarpanı bulalım. a = a . r olduğu için 4 = 64 . r eşitliğinden r = olur. Buna
60
60
60
64 4 16
1
  1 4  60 − 1

göre, r =     = 2 15 ortak çarpanı ve 4. terimi a = a . r n - 4 eşitliğinde kullanılarak yapılan

  2   n 4
 − 1  n−4 4 − n 94 −n
işlemden a = 64 2.  15  = 2 2. 15 olur. Sonuç olarak dizinin genel terimi a = 2 15 dır.
6
n
  n
Örnek
56 6 terimli bir geometrik dizinin tüm terimler çarpımı ilk ve son teriminin çarpımının 50
katıdır. Buna göre bu dizinin 3. ve 4. terimleri çarpımı kaça eşittir?
5
Terimleri a , a = a . r, a = a . r , a = a . r , a = a . r ve a = a . r olsun. Bu durumda
4
3
2
Çözüm 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
.
.
aa aaaa 6 = 50 eşitliğinden a . r . a . r . a . r . a . r = 50 olur. Dikkatlice baktığımız-
.
.
.
2
3
4
5
1
4
3
2
aa 6 1 1 1 1
.
1
3
2
da 2. ve 5. terimler çarpımı ile 3. ve 4. terimler çarpımı (a . r . a . r = a . r . a . r = a . r ) eşittir.
5
2
4
1 1 1 1 1
2
2
3
4
Buna göre, a . r . a . r . a . r . a . r = 50 eşitliğini (a . a ) = 50 biçiminde yazabiliriz. Sonuç
1 1 1 1 3 4
olarak bu geometrik dizinin 3. ve 4. terimler çarpımı a . a = 5ñ2 dir.
3 4
ALTIN NOKTA 155