Page 149 - og_2_olimpiyat

Örnek
35 Ortak farkı 2 ve yirmi beşinci terimi 128 olan bir aritmetik dizinin 5. terimi kaçtır?

I. Yol 25. terim ve ortak fark belli olduğuna göre ilk terimi bulabilirsin. a = a + 24d olduğu için 128 5. Bölüm
Çözüm 25 1
= a + 24 . 2 den a = 80 dir. Buna göre, dizinin 5. terimi a = a + 4d için a = 80 + 4 . 2 = 88 dir.
1 1 5 1 5
II. Yol Bu kestirme yolu beğeneceksin. Bir önceki örnekte ilk terimi ve ortak farkı bilinen bir arit-
metik dizi için a = a + (n - 1).d eşitliğini keşfetmiştin. Şimdi ise aslında sadece ilk terim değil
n 1
aritmetik dizinin herhangi iki terimi için bir eşitlik keşfedeceğiz.
Dikkat edersen a = a + d, a = a + 2d, a = a + 3d, örneklerinde dizinin kaçıncı terimleri olduğu-
2 1 3 1 4 1
nu gösteren alt indisler arasındaki fark kadar d kullanılıyor. Yani 5. terim için 5 - 1 tane ortak fark
(d) kullanılırken, n. terim için n - 1 tane ortak fark (d) kullanılıyor. İşte bu durumu genelleyelim.
Mesela a = a + 9d olduğunu biliyoruz. Burada ilk terim yerine 4. terimi kullanalım.
10 1
(a + 3d = a olduğu için) a = a + 6d yazılabilir. Daha başka örnekler de verebiliriz;
1 4 10 4
a = a + 6d = a + 3d = a + 8d = a + d eşitliklerinde de görüldüğü üzere aritmetik bir dizinin
10 4 7 2 9
herhangi iki terimi arasında kaçıncı terim olduklarını gösteren indisler farkı kadar d olduğundan

hareketle a = a + (n - p) . d eşitliği vardır. DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
p
n
Bu eşitliği kullanarak a = a + 20d için 128 = a + 20 . 2 den a = 88 dir.
25 5 5 5

Örnek
36 On yedinci terimi 40 ve otuz yedinci terimi -40 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

Keşfettiğimiz kestirme yol gereği a = a + (37 - 17)d ile - 40 = 40 + 20d eşitliğinden -80 = 20d
Çözüm 37 17
ve dizinin ortak farkı d = -4 tür.

Örnek
37 Bir aritmetik dizide a = 28 ve a = 43 olduğuna göre a kaçtır?
7
23
10

a = a + (10 - 7)d eşitliği kullanılarak 43 = 28 + 3d den 3d = 15 ve d = 5 tir.
Çözüm 10 7
Buna göre a = a + (23 - 7)d ile a = 28 + 16 . 5 den a = 108 dir.
23 7 23 23

Örnek
38 11 ile 101 sayıları arasına, bu sayılarla beraber bir aritmetik dizi oluşturacak şekilde
20 terim yerleştirildiğinde dizinin kaçıncı terimi 71 dir?

Dizi 22 terimden oluşup 1. terim 11 ve 22. terim 101 olduğuna göre, a = a + 21d eşitliği kulla-
Çözüm 30 22 1
nılarak 101 = 11 + 21d den 21d = 90 ve d = dir. Buna göre 71 sayısı x. terim olmak üzere,
7
30 30
a = a + (x - 1)d ile 71 = 11 + (x - 1). den 60 = (x - 1). olur.
x 1 7 7
Sonuç olarak 14 = x - 1 den x = 15 olduğu için dizinin 15. terimi 71 dir.

ALTIN NOKTA 149