Page 152 - og_2_olimpiyat

Örnek
46 İlk terimi 1 olan 20 terimli bir aritmetik dizinin (terimler) toplamı, ilk terimi 20 olan 10
terimli bir dizinin toplamına eşittir. Bu dizilerin ortak farkları sırasıyla x ve y pozitif tam
sayıları ise x + y toplamının alabileceği en küçük değer nedir?
(UİMO - 1998)

A) 35 B) 38 C) 43 D) 75 E) 92
5. Bölüm

Çözüm Ortak farkı x olan dizinin terimleri 1, (1 + x), (1 + 2x), (1 + 3x), . . . , (1 + 19x) ve ortak farkı y olan
dizinin terimleri 20, (20 + y), (20 + 2y), (20 + 3y), . . . , (20 + 9y) dir. Bu dizilerin terimler toplamı
20 10
+
sırasıyla S = ( 1+ ( 1 19 x ) ) ve S = ( 20 + ( 20 9 y ) ) olup bu toplamların eşitliği
+
20 2 10 2
10(2 + 19x) = 5(40 + 9y) düzenlenerek 190x - 45y = 200 - 20 işleminden 38x - 9y = 36 elde edilir.
Bu durumda x ve y pozitif tamsayılar olduğu için y sayısı çift olmalıdır. Buna göre y = 2k (k pozitif
tamsayı) alıp eşitlikte kullanırsak 38x - 18k = 36 dan 19x - 9k = 18 ve 19x = 9(k + 2) elde edilir.
Bu eşitlik ise x, 9 un katı olan bir tamsayı için sağlanır. O zaman x = 9m (m pozitif tamsayı) için
19 . 9m = 9(k + 2) den 19m = k + 2 eşitliği elde edilir. Bu son eşitlikten en küçük x + y toplamının
bulunabilmesi için m = 1 ve k = 17 değerleri kullanılarak x = 9m = 9 ve y = 2k = 34 bulunur. Sonuç
olarak x + y toplamının alabileceği en küçük değer 9 + 34 = 43 tür.
Cevap: C

Örnek
47 Bir aritmetik dizide ilk 2002 terimin toplamı 10, ilk 10 terimin toplamı da 2002 ise bu
dizinin ortak farkı kaçtır?
(UİMO - 2002)
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
A) - 1 B) - 1006 C) - 1 D) - 996 E) Hiçbiri
546 5005 1006 5005

2002 10
1 (
Bu aritmetik dizi için S = a + a 2002 ) = 10 dan a + a = ve
Çözüm 2002 2 1 2002 1001
10 2002
1 (
S = a + a ) = 2002 den a + a 10 = eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikleri ilk terim ve ortak
1
10
10
2 5
fark (d) içeren eşitlikler biçimine dönüştürelim. Bu durumda a + a + 2001. d = 10 ve
1
1
1001
2002 2001 d − 2a − 9 d = 10 − 2002
a + a + 9. d = eşitliklerinin farkı ile 2a + . 1 . olur. Buna göre
1
1
1
5 1001 5
50 2002 1001 ( 25 2 −1001 2 )
.
1992 . d = − den 1992 . d = biçiminde işlemi sürdürürsek
5005 5005 5005
.
.
2 996 1006 1006
1992.d =− ve d = - dir.
5005 5005 Cevap: B
152 ALTIN NOKTA