Page 156 - og_2_olimpiyat

Örnek  1 
a
x
yz

57 () =  ,,, ,180 pozitif terimli sonlu geometrik dizisinde x . y . z çarpımı kaça eşittir?
n
 5 
Bir önceki örnekte gördüğümüz eşit olma durumu tüm geometrik dizilerde geçerlidir. Tekrar ede-
Çözüm
cek olursam; a . a . r = a . r . a . r = (a . r ) eşitliği açıktır. Burada keşfettiğimiz bu eşitliği
2 2
3
4
1 1 1 1 1
.
karekök alarak aa. 5 = aa = a şeklinde de kullanabilirsin. İşte bu durumu daha hatırla-
5. Bölüm
3
4
1
2
nabilir olsun için 'geometrik dizilerde bir terim kendisine eşit uzaklıkta olan iki terimin geometrik
1
ortalamasına eşittir' biçiminde seslendirebiliriz. Buna göre, aa. = . 180 = xz = y olduğu
.
1 5 5
için x . z = 36 ve y = 6 olup x . y . z çarpımı 36 . 6 = 216 dır.
Örnek
58 Bir geometrik dizinin ardışık üç teriminin toplamı 13 ve kareleri toplamı 91 dir. Bu üç
terimin çarpımı kaça eşittir?
Dizinin ardışık üç terimini ilk üç terim gibi gösterelim. Bu terimler a , a = a . r, a = a . r olmak
2
Çözüm 1 2 1 3 1
üzere a + a . r + a . r = 13 ve a + (a . r) + (a . r ) = 91 eşitlikleri için a (1 + r + r ) = 13 ve
2
2
2 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
a (1 + r + r ) = 91 olur. İlk eşitliğin karesini alalım; a (1 + r + r + 2(r + r + r )) = 169 elde edilir.
3
2
2
2
4
2
4
2
1 1
Elde ettiğimiz eşitliği düzenleyerek a (1 + r + r ) + 2 a . r(1 + r + r ) = 169 den
2
2
2
2
4
1 1
91 + 2 a . r .13 = 169 ve a . r = 3 olur. Buna göre a . r = 3 = a terimine birer uzaklıkta olan diğer
1 1 1 2
.
2
iki terim için aa. = a den aa = 3 dir. Sonuç olarak dizinin bu üç teriminin çarpımı
1 3 2 1 3
a . a . a = 27 dir.
1 2 3
Örnek
59 Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 2 ve n. terimi y olduğuna göre dizinin ilk
n terim toplamının x ve y cinsinden eşiti nedir?
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
A) 2x - 2y B) y - 2x C) x - y D) 2x - y E) 2y - x
Dizinin terimleri; x, 2x, 4x, 8x, . . . , y = 2 x olduğu için terimler toplamı x + 2x + 4x + . . . + y
n-1
Çözüm
ifadesi x ortak parantezinde x(1 + 2 + 2 + . . . + 2 ) olur. İlk geziden hatırlayanlar olacaktır (top-
n-1
2
n
2 - 1
lamın 2 katını alıp ilk halinden çıkarılarak eşiti bulunmuştur) 1 + 2 + 2 + . . . + 2 = olduğu
n-1
2
2 - 1
için x(1 + 2 + 2 + . . . + 2 ) = x(2 - 1) dir. n. terim y = 2 x ten 2y = 2 x olduğundan
n
n-1
n
n-1
2
x(2 - 1) = 2 x - x = 2y - x tir. Buna göre dizinin ilk n terim toplamı x(1 + 2 + 2 + . . . + 2 ) = 2y - x tir.
n-1
n
2
n
Cevap: E
Bu işlemlerden hareketle tüm geometrik dizilerin ilk n terim toplamı için formül geliştirilebilir.
Bir geometrik dizinin terimleri a , a = a . r, a = a . r , . . . , a = a . r olmak üzere ilk n terim
2
n-1
1 2 1 3 1 n 1
toplamı S = a + a . r + a . r + a . r + . . . + a . r = a (1 + r + r + r + . . . + r ) eşitliği ile
n-1
2
3
n-1
2
3
n 1 1 1 1 1 1
n
1 - r
bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı S = a . 1 - r dır.
1
n
156 ALTIN NOKTA