Page 150 - og_2_olimpiyat

Örnek
39 (a ) bir aritmetik dizi ve a + a + a + a + a = 30 olduğuna göre a kaçtır?
11
9
10
8
9
7
n
Ortak fark d olmak üzere, a = a + d, a = a + 2d, a = a - d, a = a - 2d olduğundan verilen
Çözüm 10 9 11 9 8 9 7 9
eşitlikte kullanılırsa a - 2d + a - d + a + a + d + a + 2d = 39 dan 5 . a = 30 ve a = 6 dır.
9 9 9 9 9 9 9
5. Bölüm
Örnek 1997 + 1998n ( n= 0, 1, 2, . . . ) aritmetik dizisinde ondalık yazılımlarındaki rakamlarının
40
toplamı aynı olan en çok kaç terim vardır?
(UİMO - 1998)
A) 1 B) 2 C) 1997 D) 1998 E) Sonsuz çoklukta

Aritmetik dizinin n yerine yazılan 10000 = 10 , 10 , 10 , . . . , 10 değerler için elde edilecek te-
k
5
4
6
Çözüm
rimlerin (a = 19981997, a 5 = 199801997, a 6 = 1998001997, . . .) ondalık yazılımlarındaki
10000 10 10
rakamlarının toplamı aynı olur. Buna göre dizinin sonsuz çoklukta terimi için rakamları toplamı
aynıdır.
Cevap: E
Örnek
41 x, y, z, 30, a, b, c değerleri bir aritmetik dizinin ardışık terimleridir.
Buna göre, x + y + z + a + b + c toplamı kaçtır?

Dizinin ortak farkı d olsun. a = 30 + d, z = 30 - d eşitliklerinden a + z = 2 . 30 olur. Benzer biçimde
Çözüm
b = 30 + 2d ve y = 30 - 2d olduğu için b + y = 2.30 dur. Aynı yaklaşımı x ve c için uyguladığımızda
c + x = 2 . 30 olduğu için x + y + z + a + b + c toplamı 6 . 30 = 180 dir. Dikkatli gözlerden kaçma-
+
+
mıştır; az = b + y = cx = 30 yazılabilir. Peki bunu nasıl seslendirelim? Bir aritmetik dizide
2 2 2
bir terim (burada 30) kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasıdır.
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)

Haydi gel! Aritmetik dizi ile ilgili son bir keşif yapalım. Yapacağımız keşif dizinin ilk n tane teriminin topla-
mını bulduran pratik bir yol (formül) üretmek.
a = a
1
1
a = a + d,
1
2
a = a + 2d,
3 1
a = a + 3d,
4
. . . 1
a = a + (n - 1) . d
n 1

a + a + a + a + . . . + a = n . a + (1 + 2 + 3 + . . . + n - 1) . d
1 2 3 4 n 1
S = n . a + (n -1 ).n . d
n 1 2
n
= . (2 . a + (n - 1) . d) Biraz daha düzenleyelim, belki işe yarar.
2 1
n
= . ( a + a + (n - 1) . d) Aaa a + (n - 1) . d = a değil miydi! Öyle ise bir arit-
2 1 1 1 n
n
metik dizinin ilk n terim toplamı S = . (a + a ) formülü ile bulunur.
n 2 1 n
150 ALTIN NOKTA