Page 160 - og_2_olimpiyat

Toplam ve Çarpım Sembolleri

Aslında işin aslı gezimizin bu kısmı programda yoktu. Ancak hem çok önemli hatırlatmalar içermesi
hem de sadece gösterimlerin bizim için yenilik taşıması dışında zorluğunun olmayışı sebebiyle bu bö-
lümü gezdirmeye karar verdim. Birlikte miyiz? Sen bilirsin, karar senin. Bölümü gezecek olanlar hazır-
lıklarınız tamam ise yola çıkıyoruz. Haydi bu taraftan...

a gösterimini dizilerden biliyoruz. Aynı biçimde, karşılaşacağımız a , b gibi genel ifadeler için k yerine
6. Bölüm
k
k
n
yazılacak ardışık tam sayılarla elde edilen değerler toplamını ya da çarpımını ifade eden sembolleri
keşfedeceğiz. Bu semboller ∑ (sigma) ve ∏ (pi) dir. Bu sembollerin ne şekilde kullanıldığını (birbirine
benzer biçimde kullanılsa da) ayrı ayrı inceleyelim.

i. Toplam Sembolü ( ∑ )

Burada, 14 + 23 + 34 + 47 + . . . + n(n + 2) - 1 + . . . + 439 toplamının kaça eşit olduğunu (şimdilik bir
kenarda bekleterek) bulmayı değil de önce bu toplamı ifade eden gösterimi keşfedeceğiz. Bu değerleri
bulduran genel ifade için ( n(n + 2) - 1 de) n yerine 3, 4, . . . , 20 yazıldığında elde edilen değerler top-
20 20
)
)
lamını göstermek üzere ∑ ((nn + 2 ) −1 biçimindeki bir gösterimden yararlanırız. ∑ ((nn + 2 ) −1 göste-
n=3 n=3
rimi ile; n(n + 2) - 1 ifadesinde n yerine 3 ten başlayarak 20 ye kadar ardışık tam sayıların yazılmasıyla
elde edilen değerlerin toplamı anlaşılmalıdır.
Şimdi bu gösterimi genelleştirelim.

b, c birer tam sayı ve b ≤ c olmak üzere a , a , a , a , . . . , a değerlerinin toplamı
b+1
b
b+2
b+3
c

üst sınır
Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
c
∑ a k biçiminde gösterilir. Burada 'k' indis ya da değişken, 'b' alt sınır ve 'c' üst sınır olarak oku-

=
kb alt sınır
nur. Sonuç olarak, k değişkenli a ifadesinde k = b alt sınırından k = c üst sınırına kadar (b ve c dahil)
k
c
ardışık tam sayılar için elde edilen değerler toplamı ∑ a ile gösterilir.
k
=
c kb
c ∑
a + a + a + a + . . . + a = a dır. Problemlerde daha çok karşılaşacağımız şekli ile
b b+1 b+2 b+3 k
=
kb
c
∑ a = a + a + a + . . . + a + a dır.
k
b+1
c-1
c
b
b+2
=
kb
Örnek
1 Aşağıda verilen eşitlikleri inceleyiniz.
11 14
!+
+
• ∑ (k + 3 )! = 1 2 !+ 3 !+ 4 ! ... + 4 ! = ∑ ! k
k=−2 k=1
25 2 1 9 8 625 29 2
k
1
• ∑ k = + + + +... + = ∑ k − 8 + 16
k = 1 k + 2 3 5 3 3 27 k = 5 k − 2
33 30
3
5
4
• ∑ 5 n − 1 = 5 + 5 + 5 +....+ 5 32 = ∑ 5 n +2
n = 4 n =1
21
29
=
3
3
• ∑ 5 n ) = 51 3 + . 52 3 + . 53 3 + ...+ 529 = 5. ∑ n 3
.
.
( + 8
n =−7 n =1
160 ALTIN NOKTA