Page 161 - og_2_olimpiyat

Örnek
2 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + 130 toplamının kısa ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
(ÜSS - 1974)
10
10
15
15
30
15
30
15
10
15
10
15
+∑
43
A) ∑ ∑ 2 ∑ 3 ( B) ∑ ∑∑ 30 1) k 1) 3 3 ( kk 3 k 1) 3 +(k1+ ) 43 3 ∑ k 43 3 ( k 1) k3 +( D) k − 3 ∑ 15 43 k 3 ( 1 ) 3 k − E) ∑ k 1) − 6. Bölüm
∑∑∑
k 1)∑ ∑ 1+(∑
10 30
15
k ∑ C) ∑∑
15
15
30
43
2
∑ ∑
∑∑
+
−
+
∑
2
)
(
1
(
3
k 1) k 1) 3
( k
(
3
k k
(
k 1)
k 1) k3 +(
k
3
−
2
2
3
3
3 (
3 (
+ k
∑ k 1+ )
)
=
=
k 1 k 1= k 01= k 0 = k= k 0 k 1 k 0 k= k= 0 = k 1 k 0 k 1 = = k 0 k 0 0 k 0 k 0 k 0
=
=
=
=
=
k 0 1
=k
= k
k 0k 0=k 1
1
=
=
=
=
=
=
k 1
Çözüm Seçeneklerde verilen toplamlardan A, B, C ve E;
15
10
15
30
43
∑
∑
∑
A) ∑ k = 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + 225, k 1) ∑ 3 ( k 1)
k 1)
3 (
+
2
3 (
k
−
3
+
=
=
=
=
=
k 1 k 0 k 1 k 0 k 0
15
30
43
15
10
∑
∑
∑
∑ k 2 B) ∑ 3 ( k 1) = 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + 91 (en son sayı 130 olmalıydı)
+
+
3 (
−
k 1)
3 (
k
k 1)
3
=
=
=
=
=
k 1 k 0 k 1 k 0 k 0
15
30
10
15
43
∑
∑
∑ k 2 ∑ 3 ( k 1) C) ∑ k 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . + 1000
−
+
+
k 1)
3 (
k 1)
3 (
=
=
=
=
=
k 1 k 0 k 1 k 0 k 0
15 30 10 43 15
∑ k 2 ∑ 3 ( k 1) ∑ k 3 ∑ 3 ( k 1) E) ∑ 3 ( k 1) = - 1 + 2 + 5 + 8 + . . . + 44 toplamlarına eşit olup istenen ifade değildir. Sonuç
−
+
+
=
=
=
k 1 k 0 k 1 k 0 k 0
=
=
43
olarak 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + 130 toplamının kısa ifadesi ∑ (3k+1) biçimindedir. Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
k=0
Cevap: D
Böylece toplam sembolünü tanıdığını düşünüyorum. İşte toplam sembolünü tanımakla çözümlerini yapa-
bileceğin bir kaç örnek geliyor şimdi.
Örnek 120 k
−
1
3 ∑ () .k toplamı kaça eşittir?
k =2
120 k
−
+
34
k
1
56
Çözüm ∑ () . = 2 −+ −+ − ...−119 120 olduğuna göre bu toplam ikişerli toplamlar biçiminde
k =2
gruplara ayrılarak − −−−111 ... −+120 ya da 2 + +++... +1 işlemlerinden -59 + 120 ya da
111
1

59 tane 59 tane
120
k
1
2 + 59 ile ∑ () . = 2 61 dir. 56 ...−119 120
k
34
−
+
−+ −+ −
k =2
Örnek 20
3
4 ∑ k toplamının değeri kaçtır?
k=− 19
k = -19 alt sınırından k = 20 üst sınırına kadar olan ardışık tam sayıların küpleri toplamını bu-
Çözüm
20
lacağız. ∑ k =− 19 − 18 − 17 −... − 1 + 0 + 1 +... + 17 + 18 + 19 + 20 toplamında aynı sa-
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
k=− 19
yıların pozitif ve negatif değerleri toplamda sıfır olacağından geriye sadece 20 kalır. Buna göre
3
20
∑ k =− 19 − 18 − 17 −... − 1 + 0 + 1 +... + 17 + 18 + 19 + 20 3
toplamının değeri 8000 dir.
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
k=− 19
ALTIN NOKTA 161