Page 164 - og_2_olimpiyat

Örnek 25
2
8 ∑ k toplamının değeri kaçtır?
k=− 20

25
∑ k = (-20) + (-19) + . . . + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + 25 toplamını
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Çözüm
k=− 20 20 25
25
6. Bölüm
∑ k = ∑ k + ∑ k 2 biçiminde değerlendirebiliriz.
2
2
=
=
k=− 20 k 1 k 1
25
Buna göre, ∑ k = 20 . 21 . 41 + 25 . 26 . 51 dan toplamın değeri 2870 + 5525 = 8395 tir.
2
k=− 20 6 6
Örnek 29
)
(
9 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... +k.(k + 1) + ... + 29.30 = ∑ kk +1 toplamının değeri kaçtır?
k=0
29 29 29 29
2
2
2
Çözüm Bu toplamı ∑ (k + ) k biçiminde kullanalım. Bu durumda ∑ (k + ) k = ∑ k + ∑ k eşitliğinden
=
k 0 k 0 k 0 k 0
=
=
=
29 29 . 30 . 59
∑ (k + ) k = + 29 . 30 olur.
2
k 0 6 2 29
=
(
)
Buna göre, 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... +k.(k + 1) + ... + 29.30 = ∑ kk +1 toplamının değeri
k=0
8555 + 435 = 8990 dır.
3. n 2
nn 1  )
∑ k =+ 3 3 + ... + n =  .( + 
3
12 +
3
3

Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
=
k 1  2 
Eşitliğin ne kadar ilginç olduğunu görebildin mi? İşte o çok ilginç eşitlik; 1 den
n A
n sayısına kadar olan ardışık tam sayıların küpleri toplamı, bu sayıların topla- n
mının karesine eşittir.
1 + 2 + 3 + . . . + n = (1 + 2 + 3 + . . . + n) 2 3
3
3
3
A
3
Bu formülün doğruluğunu göstermek için yine geometrik bir açıklama yapa- 2
A 2
lım. İç içe kareler oluşturalım. Şeklimizde kenarları 1, 2, 3, . . . ,n birimlik 1 A 1
uzunluklara sahip iç içe kareler bulunmaktadır. 1 2 3 n
A , A , A ,... A değerleri bulundukları farklı renkli şeritlerin alanlarıdır.
1 2 3 n
Bu alanlar; A = 1, A = (1 + 2) - 1 = 8, A = (1 + 2 + 3) - (1 + 2) = 27 , . . .,
2
2
2
1 2 3
A = (1 + 2 + 3 + . . . + n) - (1 + 2 + 3 + . . . + n - 1) = n (işlemi sana bırakıp sonucu yazdım) şeklinde
2
2
3
n
değerlere sahiptir. Büyük kare olan şeklimizin alanını iki biçimde yazabiliriz. Bu durumda,
A + A + A + ... + A = 1 + 8 + 27 + . . . + n = (1 + 2 + 3 + . . . + n) eşitliğinden zaten yukarıda verilen
3
2
1 2 3 n
eşitliği elde ediyoruz.
n  nn 1+.(  ) 2
ardışık tam sayıların küpleri toplamı ∑ k =+ 3 3 +... + n =   dir.
12 +
3
3
3
=
k 1  2 
164 ALTIN NOKTA