Page 165 - og_2_olimpiyat

Örnek 19
3
10 ∑ k toplamının değeri kaçtır?
k=− 20 6. Bölüm

Aaa bu iki önceki örneğe çok benziyor neredeyse aynısı. 'Hayır. Aynısı değil baksana küp var'
Çözüm
diyenlere cevap:
- Olsun. Çözümü aynı; Negatif sayıların küpleri toplamı ile pozitif sayıların küpleri toplamını bulup
toplarız. Çok doğru bir cevap tabii ki.
Peki aşağıdaki gibi bir yol izlesek;
19
∑ k = (-20) + (-19) + . . . + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + 19 toplamında aynı
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
k=− 20
sayıların pozitif ve negatif değerleri toplamı sıfır olduğu için
19
3
3
3
(mesela -19 + 19 = 0) ∑ k = (-20) olur. Buna göre toplamın değeri -8000 dir.
3
k=− 20
Örnek 20
k
)
11 ∑ (k −1 )..(k +1 toplamının değeri kaçtır?
k=−1 Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
k yerine sırası ile -1, 0, 1, 2, . . . , 20 yazarak elde edilecek değerleri (k = -1 ve k = 0 için zaten
Çözüm
sıfır bulunduğundan toplamı değiştirmez) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 19.20.21 toplamak zahmetli
20
3
2
gelebilir. O zaman bu toplamın eşiti olarak ((k - 1) . (k + 1) = k - 1 olduğu için) ∑ (k − ) k toplamını
kullanabiliriz. Bu durumda 2 2 k=− 1
20 20
.21 .21
20
20
. 20.21
20
20 20
20
.
∑
eşitliğinden ∑
∑
∑ (k − )k − k ) k = = ∑ k 3 3 ∑ k e_itli inden ∑ (k 33 ) k = ) =  20.21   −− 20 20 olur.
3 3
(k − k−
k − −
∑ (
k e_itli inden

k k=− 1=− 1 k 1 1= = k 1 1= = k k=− =− 11  22   22
k
k
20
Sonuç olarak ∑ (k −1 )..(k +1 toplamının değeri 44100 - 210 = 43890 dir.
)
k
k=−1
4. n n+1
∑ r =+ r r + r + ... + r = r −1
2
+
k
3
n
1
k=0 r −1
3
Bu tür bir toplam için 1 + r + r + r + . . . + r = A kabul edelim. Tüm eşitliği r katını alarak genişletelim ve
2
n
ilk eşitlikten çıkaralım. Buna göre,
r + r + r + r +. . . + r n + 1 = A . r
3
2
4
3
2
1 + r + r + r + . . . + r = A
n

r - 1
n+1
r n + 1 - 1 = A . (r - 1) den A = r - 1 olur. Sonuç olarak tekrar edersem bir sayının ardışık kuvvetleri
n
n+1
n
+
k
r r ++ r + . . . + r =
toplamı ∑ r =+1 + r + r r + ... + r = n r n+1 −1 r - 1 dir.
3 3
1
2 2
r - 1
k=0 r −1
Benzer yöntemle cevaplandırılabilecek problemler ile karşılaşabiliriz. Bu nedenle gelecek örnekler
için sadece formülün tekrarı gibi bakmamak gerekir. Yani formülü ezberlemeye çabalamak yerine
hangi yöntemle o formülü keşfettiğimizin daha önemli olduğunu görmeni tavsiye ederim.
ALTIN NOKTA 165