Page 163 - og_2_olimpiyat

n
∑ (2k − ) 1 = 13 5 + ... 2n −= 2
++
+
1 n
k= 1
Bu yöntem yardımıyla şu formülü de keşfedebilirsin; 1 + 3 + 5 + . . . + 2n - 1 toplamını tersten sıralı olarak 6. Bölüm
yazarsan bu iki ifadenin (2n sayılarından n tane olur) toplamının yarısı bize formülü verir.

Örnek 75
6 ∑ 2k toplamının değeri kaçtır?
k= 1
75
∑ 2k = 2 + 4 + 6 + . . . + 150 dir. Burada ardışık çift sayılar toplanıyor. Biz toplamı düzenleyip
Çözüm
k= 1
işlem yapabiliriz; 2 + 4 + 6 + . . . + 150 = 2.(1 + 2 + 3 + . . . + 75) eşitliğinden
75
75
∑ 2k = 2 . ∑ k olup toplamın değeri 2 . 75 . 76 = 5700 dür.
2k
k= 1 k= 1 2
Örnek 99
7 ∑ k toplamının değeri kaçtır?
k=40

İstenen toplam 1 den 99 e kadar olan ardışık tam sayılar toplamından 1 den 39 a kadar olan ar- Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
Çözüm
dışık tam sayılar toplamı çıkarılarak bulunabilir. Buna göre,
99 99 99 . 100 39 . 40
∑ k = (1 + 2 + 3 + . . . + 99) - (1 + 2 + 3 + . . . + 39) eşitliğinden ∑ k = 2 - 2 olur.
k=40 99 k=40
Sonuç olarak ∑ k toplamının değeri 4950 - 780 = 4170 tir.
k=40

2.
.(
n
+ ).
∑ k =+ 2 3 + ... + n = nn 12 +( n 1 )
2
2
12 +
2
=
k 1 6
Bu formül için bir şekil oluşturalım. Şeklimizin bir kenarı 1, 2, 3, . . . , n
birimlik uzunluklara, diğer kenarı da 1 tane 1 birim ve n tane 2 birimlik
uzunluklara bölünmüş olsun. Bu durumda şeklimiz bir kenarı 2n + 1 2 A n
birim diğer kenarı (1 + 2 + 3 + . . . + n den) n . (n + 1) birim olan bir dik-
2 2 A
dörtgendir. Şerit görünümlü farklı renklerde parçaların alanları 3
2 A 2
A = 1.(2 + 1) = 3, A = (1 + 2).(2 . 2 + 1) - 1.(1 + 2) = 3.5 - 1.3 = 12,
1 2 2
A = (1 + 2 + 3) . (2 . 3 + 1) - (1 + 2).(2 . 2 + 1) = 6.7 - 3.5 = 27, . . . , son A 1
3 1
parçanın alanı için işlem yapalım 1 2 3 n
A = (1 + 2 + 3 + . . . + n)(2 . n + 1) - (1 + 2 + 3 + . . . + n - 1)(2 . (n - 1) + 1) işleminden
n
düzenleyerek
A = n . (n + 1) . (2n + 1) - (n - 1) . n . (2n - 1) = 3n elde edilir. Tüm dikdörtgenin alanını iki biçimde yazalım.
2
n 2 2
Birisi parçalar toplamı diğeri kenar uzunlukları çarpımı.
2
Buna göre, A + A + A +...+A = 3 + 12 + 27 + . . . + 3n = n . (n + 1) . (2n + 1) eşitliğinin iki tarafını 3 ile
1 2 3 n 2
2
bölerek 3 . (1 + 4 + 9 + . . . + n ) = n . (n + 1) . (2n + 1) den 1 + 4 + 9 + . . . + n = n . (n + 1) . (2n + 1) olur.
2
2 6
Sonuç olarak ardışık tam sayıların kareleri toplamı
+
+
.(
n nn 12 n 1)
(
).
∑ k =+ 2 2 3 + ... + n = 2 n . (n + 1) . (2n + 1) dır.
2
2
2
12 + + 3 + . . . + n =
= 1 + 2
2
=
k 1 6 6
ALTIN NOKTA 163