Page 162 - og_2_olimpiyat

Örnek 40
1
5 ∑ ( 2k +− 2k − ) 1 toplamının değeri kaçtır?
k= 5

40
∑ ( 2k +− 2k − ) 1 toplamı aşağıdaki biçimde yazılır ve işlem yapılırsa;
1
Çözüm
k= 5
6. Bölüm
ò11 - ñ9
ò 13 - ò11
ò 15 - ò13
. . .
ò 79 - ò77
ò 81 - ò79

ò 81 - ñ9 toplamın değeri 9 - 3 = 6 dır.

Gezegenimde seyahat edenlerin gezintileri esnasında karşılaşma ihtimali yüksek, değerli hazinele-
rinden bir bölüm var sırada; toplam formülleri.

1.

n
(
∑ k = +++ ... += nn +1 )
n
3
12
k=1 2
Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
Şekilde görülen yeşil ya da beyaz renkli karelerin toplam alanını bulalım; n
bu karelerin her biri 1 birim kare olsun. Buna göre beyaz kareleri yukarı- n-1
dan aşağıya bakarak önce 1 tana sonra 2 tane daha sonra 3 tane ve böy-
lece 1 er kare artarak son olarak n tane kare üst üste konulmuş biçimde
görebilirsin. İşte bu karelerin alanları toplamı (isteyen karelerin sayıları 3
toplamı biçiminde de düşünebilir) 1 + 2 + 3 + . . . + n ile ifade edilir. Aynı 2
işlem yeşil kareler için de düşünülebilir. 1

1 2 3 n-1 n
n
n-1 Sonuçta, şekilde toplam alanı (ya da sayısı) eşit olan yeşil ve beyaz
kareler olduğu için 1 + 2 + 3 + . . . + n toplamı ile karelerin oluşturduğu
toplam alanının yarısını buluyoruz. Şekildeki toplam alan kenar uzun-
luğu n ve n + 1 birim olan bir dikdörtgenin alanıdır. Buna göre, beyaz
3
2 karelerin alanı (ya da sayısı) ile biz bu toplam formülünü keşfediyoruz:
1 n
∑ k = +++... += nn +1.( )
n
12
3
1 2 3 n-1 n k=1 2
Benzer bir açıdan yaptığımız işlemi tekrarlayalım. 1 + 2 + 3 + . . . + n toplamı tersten sıralanarak yazılırsa
bu iki ifade (n + 1 sayılarından n tane olur) toplamının yarısı bize formülü verir.

162 ALTIN NOKTA