Page 166 - og_2_olimpiyat

Örnek 1   2  1  3  1  n
1
12 n = 10 için 2 +   +   + ... +   toplamının değeri kaçtır?
2 


2 

2 
r - 1 1 - r
n+1
n+1
1 + r + r + r + . . . + r = formülün eşitini -1 < r < 1 aralığındaki r değerleri için bi-
2
n
3
Çözüm r - 1 1 - r
6. Bölüm
 1 11
1−
1   2  1 3  1 10  
1

2 
çiminde kullanmak pratik olur. Buna göre, 1+ +   +   +... +   = işleminden
2  2   2   2  1− 1
-
2048 1 2
1   2  1 3  1 10 2048 2047 1023
1
1+ +   +   +... +   = toplamın değeri -1 = -1 den tür.
2  2   2   2  1 1024 1024
2
Örnek n
13 ∑ 2 n+ 3 = 4088 olduğuna göre, n kaçtır?
k= 0

n
∑ 2 n+ 3 = 2 + 2 + 2 + . . . + 2 n + 3 toplamına 1 + 2 + 2 = 7 eklenirse formülü kullanabiliriz. Bu
2
3
4
5
Çözüm
k= 0
2 - 1
n+4
durumda, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 n + 3 = 4088 + 7 eşitliğinden = 4095 elde edilir.
2
3
5
4
2 - 1
Buna göre, 2 n + 4 = 4096 = 2 den n + 4 = 12 ve n = 8 dir.
12
Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
Örnek 11 k
14 ∑ k.3 işleminin sonucu kaçtır?
k 1=
11
∑ k.3 = 3 + 2.3 + 3.3 + 4.3 + . . . + 11.3 toplamına X diyelim. X ten X in 3 katını çıkaralım.
3
k
11
4
2
Çözüm
k 1=
n
n
4
4
Bu çıkarma işlemi sırasında n tane 3 den n - 1 tane 3 çıktığına (mesela 4 . 3 - 3 . 3 = 1. 3 ) ve
4
n
1 tane 3 elde edildiğini dikkate alınca;
11
3
4
2
3 + 2 . 3 + 3 . 3 + 4 . 3 + . . . + 11 . 3 = X
3
12
4
5
3 2 + 2 . 3 + 3 . 3 + 4 . 3 + . . . + 11 . 3 = 3 . X

12
4
11
2
3
3 + 3 + 3 + 3 + . . . + 3 - 11.3 = -2X eşitliğinin iki tarafına 1 ekleyip sol yanını düzenleyelim.
3 - 1 22 . 3 12 3 - 1
12
12
12
Bu durumda, -11 . 3 = -2X + 1 eşitliğinden 2X = 1 + - olur. Buna göre,
3 - 1 2 2
2 + 22 . 3 - 3 + 1 11 3 + 21 . 3 12
12
12
2X = den ∑ k.3 işleminin sonucu X = tür.
k
2 4
k 1=
166 ALTIN NOKTA