Page 167 - og_2_olimpiyat

Örnek 1 2 3 99
15 + + + ...+ toplamı neye eşittir?
2! 3! 4! 100! (UMO - 1995) 6. Bölüm

99 101 99 1
A) 1 + B) C)1 - D) 1 E) 1 -
100! 100 100! 100!

Çözüm Toplamdaki her terim n biçiminde olup n = n + 1 - 1 eşitliğinden
(n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!
n n + 1 1 99  1 1 
= - elde edilir. Bu durumda problem ∑  −  şeklinde değer-
1 n! (
(n + 1)! (n + 1) n! (n + 1)! n   n + 1 ! )  
=
lendirilerek aşağıdaki biçimde terimlerin toplamı olur;
1 - 1
1! 2!
1 - 1
2! 3!
1 - 1
3! 4! Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
. . .
1 - 1
98! 99!
1 - 1
99! 100!

1 - 1 den 1 + 2 + 3 + . . .+ 99 toplamı 1 - 1 e eşittir.
1! 100! 2! 3! 4! 100! 100!
Cevap: E

Örnek 41
)
16 ∑ (k −11 ).(k −13 toplamının sonucu kaçtır?
k=14

41
∑ (k −11 ).(k −13 = 3.1 + 4.2 + 5.3 + 6.4 + . . . + 30.28 toplamını şu biçimde de yazabiliriz;
)
Çözüm
k=14
28
1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . . . + 28.30 = ∑ kk + 2
)
.(
k=1
.
.
.
.
28 28 28 28 28 28 29 57 22829
2
Bu durumda ∑ kk + 2 ) = ∑ k + ∑ 2 k olduğu için ∑ k + ∑ 2 k = + işleminden
.(
2
=
k=1 k=1 k=1 k 1 k 1 6 2
=
28 41
hareketle ∑ kk + 2 ) = 7714 + 812 olur. Buna göre, ∑ (k −11 ).(k −13 toplamın sonucu 8526 dır.
.(
)
k=1 k=14

ALTIN NOKTA 167