Page 168 - og_2_olimpiyat

Örnek
17 1 . 2003 + 2 . 2002 + 3 . 2001 + . . . + 2001.3 + 2002 . 2 + 2003 . 1 sayısının kaç asal
böleni vardır?
(UMO - 2003)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

6. Bölüm
Çözüm Problemde verilen toplamı toplam sembolü kullanarak çözmek daha pratik olacak. Toplamı
2003 2003
∑ k.(2004 − k) biçiminde yazabiliriz. Bu durumda parantez açarak ∑ (2004 .kk den
−
2
)
=
k 1 k = 1
2003
∑
∑
2004. ∑ k − 2003 k olur. Buna göre 2004 . 2003 k − 2003 k = 2004 . 2003 . 2004 - 2003 . 2004 . 4007
∑
2
2
k =1 k =1 k =1 k =1 2 6
 2004 4007  2003 2004 2005
.
.
den 2003 . 2004  −  = ve toplam (2004 : 6 = 334) 2003.334.2005
2
 (3) 6  6
sayısına eşittir. Bu sayı asal çarpanlarına ayrıldığında 2003.334.2005 = 2003.2.167.5.401 olup 5
farklı asal böleni vardır.
Cevap: C
Örnek n
)
2
18 ∑ (k + 7 = an + bn + c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
k=−4
an + bn + c ifadesinin n = 1 için değeri a + b + c toplamına eşit olduğundan verilen eşitlikten
2
Çözüm
1
a + b + c = ∑ (k + 7 dir.
)
Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
k=−4
Buna göre, a + b + c = ( -4 + 7) + ( -3 + 7) + ( -2 + 7) + ( -1 + 7) + (0 + 7) + 8 işleminden
a + b + c toplamı 33 tür.
Toplam sembolünden birden fazla da kullanılarak bir kısım toplamlar ifade edilebilir.
Haydi gel son olarak bu tür bir Örneğe bakalım.

Örnek 10 3
n
19 ∑ ∑ m ifadesi kaça eşittir?
m=1 n=1

Çözüm İfadenin bize söylediği şey; n görülen yere 1, 2, 3 gelince elde edilecek ifadeler toplamında
(m + m + m ) m nin 1, 2, 3 , . . . , 10 değerleri için bulunacak sayılar toplamıdır. Yapacağımız bu
2
3
10 3 10 10
işlemleri ∑∑ m = ∑ ( m m + m ) biçiminde gösteririz. Buna göre, ∑ (mm + m 3 ) toplamını
+
3
2
n
+
2
m=1 n=1 m=1 m=1
.
.
10
10
10
.
10
10
10
∑ m + ∑ m + ∑ m olarak değerlendirelim. ∑ m + ∑ m + ∑ m = 10 11 10 11 21 +  10 11.   2
+
3
3
2
2

m=1 m=1 m=1 m=1 m=1 m=1 2 6  2 
3
10
10
∑
3
+
m m +
n
işleminden 55 + 375 + 3025 = 3455 olur. Sonuç olarak ∑ ∑ m = ifadesi 3455 e eşittir.
2
(
m )
m=1 n=1 m=1
168 ALTIN NOKTA